《集合与常用逻辑用语-函数》知识总结大全

第一章集合与常用逻辑用语知识结构【知识概要】一、集合的概念、关系与运算1.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐。2.集合的表示方法：列举法、描述法.有的集合还可用Venn图表示，用专用符号表示，如,,,,,,NNNZRQ等。3.元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x是集合A的元素，则xA，否则xA。4.集合与集合之间的关系：①子集：若xA，则xB，此时称集合A是集合B的子集，记作AB。②真子集：若AB，且存在元素xB，且xA，则称A是B的真子集，记作：AB.③相等：若AB，且AB，则称集合A与B相等，记作A＝B.。5.集合的基本运算：①交集：ABxxAxBI且②并集：{}ABxxAxBU或③补集：{|,}UCAxxUxA且，其中U为全集，AU。6.集合运算中常用结论：①,,AAAAABBAIIII，ABAABI。②,,AAAAAABBAUUUU，ABABAU。③()UACAUU，()UCAAI，()()()UUUCABCACBIU，()()()UUUCABCACBUI。④由n个元素所组成的集合，其子集个数为2n个。⑤空集是任何集合的子集，即A。在解题中要特别留意空集的特殊性，它往往就是导致我们在解题中出现错误的一个对象，避免因忽视空集而出现错误。●7.含参数的集合问题是本部分的一个重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用。二、命题及其关系●1．命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。互为原命题逆命题否命题逆否命题若p，则q若q，则p互逆逆否互为互否互否互逆,pq若则,qp若则逆否●2．四种命题的相互关系：●3.“若p则q”是真命题，即pq；“若p则q”是假命题，则pq。●4.在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。●5.充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：（1）注意问题的设问方式，我们知道，①p是q的充分不必要条件是指pq且pq；②p的必要不充分条件是q是指pq且qp。这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误。（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件。●6.证明p是q的充要条件（1）充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；（2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p。三、逻辑联结词与量词●1．含有“且（）”“或()”“非（）”命题的真假性：pqpqpp真、q真真真假p真、q假假真假p假、q真假真真p假、q假假假真●2．全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M中任意一个x，有()px成立”可用符号简记为,()xMpx。含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M中任意一个x，使()px成立”可用符号简记为,()xMpx。●3．全称命题与特称命题的关系：Pp的否定全称命题：,()xMpx特称命题：,()xMpx特称命题：,()xMpx全称命题：,()xMpx第二章函数知识结构一..函数的概念及其表示（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,ab是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]ab；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(,)ab；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)ab，(,]ab；满足,,,xaxaxbxb的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,)aabb．注意：对于集合{|}xaxb与区间(,)ab，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()fx是整式时，定义域是全体实数．②()fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tanyx中，()2xkkZ．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()fx的定义域为[,]ab，其复合函数[()]fgx的定义域应由不等式()agxb解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()yfx可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0ayxbyxcy，则在()0ay时，由于,xy为实数，故必须有2()4()()0byaycy，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:fAB．②给定一个集合A到集合B的映射，且,aAbB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．二．函数的基本性质1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。⑴函数单调性的定义一般地，设函数()yfx的定义域为A，区间IA．如果对于区间I内的______两个值1x，2x，当1x2x时，都有1()fx_____2()fx，那么()yfx在区间I上是单调增函数，I称为yfx的单调_____区间.如果对于区间I内的______两个值1x，2x，当1x2x时，都有1()fx_____2()fx，那么()yfx在区间I上是单调减函数，I称为()yfx的单调_____区间.如果函数()yfx在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么函数()yfx在区间I上具有________.点评单调性的等价定义：①)(xf在区间M上是增函数,,21Mxx当21xx时，有0)()(21xfxf0)]()([)(2121xfxfxx00)()(2121xyxxxfxf；②)(xf在区间M上是减函数,,21Mxx当21xx时，有0)()(21xfxf0)]()([)(2121xfxfxx00)()(2121xyxxxfxf；⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]xxab，，且12xx，那么0)]()([)(2121xfxfxx0)()(2121xxxfxf)(xf在区间],[ba上是增函数；0)]()([)(2121xfxfxx0)()(2121xxxfxf)(xf在区间],[ba上是减函数。②导数法（选修）：在()fx区间()ab，内处处可导，若总有'()0fx（'()0fx），则()fx在区间()ab，内为增（减）函数；反之，()fx在区间()ab，内为增（减）函数，且处处可导，则'()0fx（'()0fx）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。点评判定函数的单调性一般要将式子)()(21xfxf进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。提醒求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。⑶与函数单调性有关的一些结论①若()fx与()gx同增（减），则()fx＋()gx为增（减）函数，(())fgx为增函数；②若()fx增，()gx为减，则()fx－()gx为增函数，()gx－()fx为减函数，(())fgx为减函数；③若函数()yfx在某一范围内恒为正值或恒为负值，则()yfx与1()yfx在相同的单调区间上的单调性相反；④函数()yfx与函数()(0)yfxkk具有相同的单调性和单调区间；⑤函数()yfx与函数()(0)ykfxk具有相同的单调性和单调区间，函数()yfx与函数()(0)ykfxk具有相同单调区间上的单调性相反。2.奇偶性函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于y轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点；⑴函数奇偶性的定义一般地，设函数()yfx的定义域为A．如果对于_____的xA，都有()fx_____，那么函数()yfx是偶函数.一般地，设函数()yfx的定义域为A．如果对于_____的xA，都有()fx_____，那么函数()yfx是奇函数.如果函数()yfx是奇函数或偶函数，那么函数()yfx具有________.注意具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。⑵图象特征函数()yfx为奇（偶）函数函数()yfx的图象关于原点（y轴）成中心（轴）对称图形。注意定义域含0的偶函数图象不一定过原点；定义域含0的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。点评①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．.②)(xf是奇函数()()()()()01()