高数基础讲义-刘喜波

1第一讲函数、极限与连续考试内容函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1sinlim0xxx，exxx)11(lim。函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念；5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系；6、掌握极限的性质及四则运算法则；7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限；9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型；10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。第一节函数一、函数的概念WyxD;Dxxfy)(，函数的定义涉及：定义域，值域，对应法则（函数关系）.要注意决定函数的两个要素（值域W由两要素确定）：（1）定义域D（2）对应法则f；二、函数的性态——有界性,单调性,周期性,奇偶性1、有界性2设函数()yfx在区间I上有定义,如果存在正数M，对于任意xI，恒有|()|fxM，则称()yfx在区间I上有界；否则，称()yfx在I上无界．若存在正数1M，对任意xI，恒有1()fxM，则称()yfx在I上有上界；若存在正数2M，对任意xI，恒有2()fxM，则称()yfx在I上有下界．易知，()yfx在I上有界的充要条件是它在I上既有上界又有下界．①几个常见的有界函数．在区间(,)上,有：1|sin|x,1|cos|x,π|arctan|2x,|arccot|x，（或cot0arc）．在［-1,1］上,有：π|arcsin|2x,|arccos|x（或0arccosx）．注:函数)(xfy有界或无界是相对于某个区间而言的；例如：1yx在区间（0,1）内无界,但在区间1,18上是有界的．②判别方法：方法一：直接法：定义本身就是判定)(xf是否有界的一种有效方法。即对)(xf，若存在0M，使得|()|fxM，则)(xf有界,否则无界．方法二：间接法：2若)(xf在],[ba连续,则)(xf在],[ba有界．②若)(xf在),(ba连续,且limxa)(xf存在,limxb)(xf存在,则)(xf在),(ba有界．方法三:性质有界+有界=有界,有界+无界=无界,有界*有界=有界，有界*无界=不确定【例1】11sinyxx在(0,1)上是否有界．【解】取10π2π+2xn()n时,有π(2π+)2ynπsin(2π+)2nπ2π+2n．故函数是无界的．【例2】2||sin(2)()(1)(2)xxfxxxx在以下哪个区间有界？（A）（-1,0）．（B）（0,1）．（C）（1,2）．（D）（2,3）．3【详解1】本题要讨论的是开区间的有界性．易知，)(xf的定义域是（-∞,0）∪（0,1）∪（1,2）∪（2,+∞）,在（-1,0）连续,且在1x的右极限、0x的左极限存在，为：1limx)(xf=1limx2||sim(-2)(1)(2)xxxxxsin329sin318，200||sin(2)sin2lim()lim(1)(2)4xxxxfxxxx．故)(xf在（-1,0）有界,选（A）．【详解2】：也可由21||sin(2)lim(1)(2)xxxxxx=∞,排除（B）,（C）,以及由22||sin(2)lim(1)(2)xxxxxx=∞,排除（D）,从而选（A）．2、单调性①定义：设()yfx在区间I上有定义,如果对12,xxI，当12xx时,恒有12()()fxfx（或12()()fxfx），则称()yfx在区间I上是单调增加（或单调减小）的．②判别方法：方法一：利用定义：设12xx，计算并判断12()()fxfx的符号，若它大于零,则单调增加；若它小于零,则单调减小．方法二利用导数：对可导函数()yfx，求)(xfy，若0y，则y单调增加；若0y，则y单调减小．方法三利用单调函数复合的性质3、周期性①定义：设函数)(xf的定义域为D,如果存在一个不为零的常数T,使得对于任一Dx,有DTx，且)()(xfTxf恒成立,则称)(xf为周期函数,T称为)(xf的周期．通常，把满足上式的最小正数T，称为函数)(xf的周期．②判别方法：方法一：利用定义:计算)()(xfTxf,则)(xf是以T为周期的函数．方法二：间接法:利用常见周期函数的周期进行判别和计算．)()())(()()(xfTxfTxfxfTxf，4如，由xxcos,sin的周期为2，推知：xxxx2cos,2sin|,cos||,sin|的周期为;由xxcot,tan的周期为，推知：|cot||,tan|xx的周期为，2cot,2tanxx的周期为2．注：若)(xf是可导的周期函数,则它的导函数仍是周期函数,且周期不变；但它的原函数不一定仍为周期函数．例如：xxfsin1)(是周期为2的函数,其导函数xxfcos)(仍是周期为2的函数,但其原函数xxxFcos)(不是周期函数．4、奇偶性①定义：设)(xf的定义域D关于原点对称,如果对任Dx,恒有)()(xfxf（或)()(xfxf）,则称函数)(xf为偶函数（或奇函数）．特别：偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于坐标原点对称．②判别方法:方法一：计算)()(xfxf（或)(xf），则)(xf是偶（奇）函数．方法二：利用运算性质:奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数；偶函数×偶函数=偶函数；奇函数×奇函数=偶函数方法三：利用导函数与原函数奇偶性:可导的奇函数的导函数是偶函数,例如233)(xx．可导的偶函数的导函数是奇函数,例如xx2)(2．连续的奇函数的任何一个原函数都是偶函数,例如xxfsin)(，CxxFcos)(．连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数,例如：xxfcos)(，其全体原函数()cosdsinFxxxxC中只有)0(sinCx是奇函数．三、几个主要概念1、复合函数设)(),(xuufy为两个函数,若)(x的值域与)(uf的定义域有非空交集,则由5)(ufy及)(xu可复合而成函数))((xfy,u称为中间变量．2、反函数设函数)(xfy的定义域为D,值域为W．若对yW,唯一确定的Dx,满足)(xfy,则得到x是y的函数,记为)(yx,称为)(xfy的反函数．习惯上将)(xfy的反函数记为)(1xfy．注：①单调函数存在反函数．②反函数)(1xfy与函数)(xfy有相同的单调性．③函数)(xfy的图像与其反函数)(yx的图像重合,但与反函数)(1xfy的图像关于直线xy对称．3、隐函数设有0),(yxF,若对Dx,存在唯一确定的y满足0),(yxF与x相对应,由此确定的y与x的函数关系)(xyy，称为由方程0),(yxF所确定的隐函数．4、基本初等函数与初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,即),1,0(log),1,0(,aaxyaaayxyax.cot,tan,cos,sinxyxyxyxy.cot,arctan,arccos,arcsinxarcyxyxyxy统称为基本初等函数．初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数．注意下面四个恒等式：log,axaxarcsinarccos,2xxπarctanarccot,2xx1πarctanarctan2xx．5、分段函数在自变量不同变化范围中,对应法则用不同式子表示的函数,称为分段函数．注：①分段函数的复合,分段函数在分段点的极限、连续性、可导性，以及分段函数的不定积分与定积分都是考试重点和难点,必须引起考生足够重视．②分段函数一般不是初等函数．【例3】设2,0,()2,0,xxgxxx2,0,(),0,xxfxxx则)]([xfg为【】.6（A）22,0,2,0.xxxx（B）22,0,2,0.xxxx（C）22,0,2,0.xxxx（D）22,0,2,0.xxxx【详解】22(),()0,2(),0,[()]()2,()02,0fxfxxxgfxfxfxxx22,0,2,0.xxxx可见应选（D）．第二节、极限一、极限的定义1、数列极限limnnxa对数列{}nx，常数a,若对任意给定的正数0，正整数N，当nN时,||nxa|恒成立,则称a为数列{}nx的极限,或者称数列{}nx收敛于a．2、当x时,函数()fx的极限lim()xfxA若存在常数A，对于任意给定的正数0，正数X，当||xX时,|()|fxA恒成立,则称常数A为()fx当x时的极限．3、当0xx时（0x为有限值），函数()fx的极限0lim()xxfxA若存在常数A，对于任意给定的正数0,0，当00||xx时,有|()|fxA恒成立,则称常数A为()fx当0xx的极限．4、当0xx时（0x为有限值），函数()fx的左、右极限0,0，当00xx时,有|()|fxA恒成立,则称常数A为)(xf当0xx时的右极限,记为0lim()xxfxA，或0(0)fxA，或0()fxA．0,0，当00xx,有|()|fxA恒成立,则称常数A为)(xf当0xx时的左极限,记为0lim()xxfxA，7或0(0)fxA，或0()fxA．二、数列极限的基本性质1、极限的唯一性：如果数列{}nx收敛,那么它的极限唯一．2、收敛数列的有界性：如果数列{}nx收敛,那么数列{}nx一定有界,反之未必.即，存在常数0M，使得对n，有||nxM．3、收敛数列的保号性如果limnnxa，且)0(0aa，那么正整数N，当Nn时，都有)0(0nnxx．①若limnnxa，limnnyb，且ba，则正整数N，当Nn时，都有nnyx②如果正整数N，当Nn时，都有)0(0nnxx，且limnnxa，那么)0(0aa．4、收敛数列与其子数列间的关系如果数列{}nx收敛于a，那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a．注：由此可判断数列极限的不存在.即，若：axkmklimknkxblim，则nnxlim不存在.三、函数极限的基本性质1、极限的唯一性如果0lim()xxfxA，0lim()xxfxB,那么BA．2、函数极限的局部有界性若0lim()xxfxA，则)(xf在0x的某空心邻域