探究规律题型方法总结和练习

探究规律题型方法总结和练习一、教学内容：规律探究型问题1.图案变化规律2.数列、代数式运算规律3.几何变化规律4.探索研究二、知识要点：近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力.题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律。是中考的一个难点，越来越引起考生重视。下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。“规律探究型问题”根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多机会体验学习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题：一、规律探索型问题的分类：1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。如：1、有一串单项式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，…那么第n个单项式是。2、争当小高斯：高斯在10岁的时候，曾计算出1+2+3+4+······+100=_________；还有另外一种解法：设S=1+2+3+······+99+100，那么也可以写成S=100+99+98+97+······+2+1，把这两个等式左右两边分别相加，可以得到2S=（1+100）+（2+99）+（3+97）+······+（99+2）+（100+1），2S=100×101，S=由此，猜想前n个自然数和：1+2+3+4+······+n=-________，前n个偶数和：2+4+6+8+······+2n=________，前n个奇数和：1+3+5+7+9+······+(2n-1)=________.猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律.它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。如：1、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了_________块石子。2、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个“树枝”．图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想。二、规律探索型问题常用解法1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.如：一组按规律排列的式子：，，，，…（），其中第7个式子是，第个式子是（为正整数）．分子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘。2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.如：将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律.3、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.如：把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变.我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律.三、规律探索型问题常见的结论：1、乘方型：如：一张白纸引发的规律：将一张长方形的纸对折，可得到两层。继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，1、连续对折n次后，可以得到几层?2、连续对折n次后，可以得到几条折痕?3、若这张白纸的面积为1，连续对折n次后单层面积是多少？另如：拉面问题：将一团拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合一次，如此重复下去，第n次捏合后，有多少根拉面？这类问题的关键在于观察数的特征：将“数”进行比较，一定会发现“数”与“数”间的联系2、等比型：这类题型最简单，通过观察、比较，学生能很容易解决。如：观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是_________3、等差型：这些题型在数学中应用最广，题型最多。例如：火柴棍引发若干的规律1、用火柴棍拼三角形变式1：用火柴棍拼正方形（1）搭一搭，填一填：（2）根据你的算法，搭100个这样的正方形需要＿＿根火柴棒。三角形个数12345……n火柴棍根数3……正方形个数123。。。。。。n火柴棒条数变式2：用同样规律的蓝白两色正方形瓷砖铺设地面，如图所示第n个图形中需用蓝色瓷砖＿＿块当数学问题所反映的数列的差值均为整数K时，其通式就与整数K的倍数有关，结果一定是（Kn±常数）的形式（n为自然数），将K代入特例中验证即可轻易得到通式，这种方法简便易行，熟练后可口头作出答解。4、差值呈自然数增长型这类通式往往与前n个自然数的和、前n个奇数和或前n个偶数和有关。这类习题有许多实例：一条直线上有2个点，则有1条线段；如有3个点，则有2+1条线段；有4个点，则有3+2+1条线段；依次类推：有n个已知点，则有线段（n-1）+（n-2）+……+3+2+1条线段，即有[（n-1+1）(n-1)]÷2=[n（n-1）]÷2条线段。另外还有“几个人相互握手总次数和”、“打篮球进行单循环比赛取总场次”等问题。所反映的是同一个数学问题，只是将其置身于各类不同的生活背景中，但归根到底是求前（n-1）个自然数的和。又如，1、用大小相同的正方形拼图，拼第1个图形需要3个正方形，拼第2个图形需要6个正方形，依次类推，拼第4个图形需要______个正方形，拼第n个图形需要_________个正方形。2、下边是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式(n为正整数)表示数表中第n行第n列的数:_____________第一列第二列第三列第四列…第一行12510第二行43611第三行98712第四行16151413…结论的归结无非是乘方型、n的一次式s=kn+b或二次式s=an²+bn+c。数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算,所以，要求把变量和序列号放在一起，做一些计算，是解答找规律题的好途径.规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识，因而成为中考的热点.这就启发广大数学教师必须注重过程教学,用科学的方法引导学生亲身参与、经历探索规律的过程,在这样的过程中让学生认识数学之美,感受探索的愉悦,逐步培养学生的独立探究能力。1.图案变化规律探究题图案变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能力，题型可涉及填空、选择或解答。例：如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）。分析：观察图像变化规律，不难发现阴影部分的图形是按顺时针每次旋转两个小格。答案是B2.数列、代数式运算规律猜想型探究题题设中提供某些信息，供解题者观察、类比、推理、反思，从而归纳、猜测、验证得出一般性的规律和结论，这样的问题称为猜想型探究题。猜想型探究题能培养学生对数字的敏感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质和探索精神。3.几何变化规律探究题观察几何图形、根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图形变化情况、探究图形的变化和所求的结果、归纳总结发现规律。例：对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=_____________.4.探索研究已知题中给出一个全新的名词，根据所学的知识和名词的含义解题.体现学生对新知识、新事物的判断和认知能力，通过提高数学知识技能，准确地运用数学基本思想和方法解题.例：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.根据上面叙述，（1）说明什么样的平行四边形是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.三、重点难点：通过观察、分析，找出存在的规律。它既是重点又是难点，着重考查学生观察、操作、实验、归纳、猜想、验证等能力，是对学生创新精神和创新意识的培养的重要前提．【典型例题】例题1、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：●在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；●在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（阴影部分）.（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1＿＿，S2＿＿，S3＿＿；（3）联想与桥梁如图④中，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.考点：平