数学建模--微分、积分和微分方程.

微分、积分和微分方程实验四定积分--连续求和有限个数nfff,,,21的和nxxfS1是有意义的无限可数个数,,,,,121xxffff的和nxxnxxffS11lim可能有意义（级数收敛）、也可能没有意义（级数发散）定积分--连续求和无限个不可数的数]},[,{baxfx，写成函数形式]},[),({baxxf，它们的和是?)x(x)f(ξlimf(x)dxi1i1n0ii0Δba定积分三种方法计算数值积分（1）定义法，取近似和的极限。高等数学中不是重点内容但数值积分的各种算法却是基于定义建立的（2）用不定积分计算定积分。不定积分是求导的逆运算，而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积）表面上看是两个完全不同的概念，通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，（3）解微分方程计算定积分微积分学基本定理如果F(x)是f(x)的原函数，即f(x)dxdF(x)，则F(a)F(b)f(x)dxba将b视为变量，改记为x，则xaf(x)dxF(a)F(x)为f(x)的原函数特别，F(b)-F(a)就是所需的定积分.在高等数学中总是期望求出不定积分的封闭解.但数值积分是更有用的工具。牛顿－莱布尼兹公式不愧为微积分的“基本定理”。基本定理的推广（解微分方程计算定积分）◆设函数bxaxyy),(连续可微，如果)(xfdxdy且曲线y=y(x)过(a,y０)点，则y=xadttfyxy)()(0，◆令初始值00y，则badttfby)()(就是定积分◆也就是求微分方程)(xfdxdy，y(a)=0的解◆bxaxyy),(◆代入端点求y(b)的值，就得到定积分基本定理的推广（解微分方程计算定积分）推广一般可考虑一阶常微分方程初值问题：0)(),,(yayyxfdxdy求解析解增加很大的难度数值解则没有本质困难。解微分方程的Eular折线法◆观察:确定方程πx0sin(x),dxdy过(0,0)点的解曲线y(x)并求定积分解微分方程的Eular折线法将区间n=4等分（共有5个分点)；计算分点和相应的函数值（x(1),x(2),x(3)x(4)x(5))（f(1),f(2),f(3),f(4),f(5))在第一个子区间[x(1),x(2)]上，画出折线段y(2)=y(1)+f(1)*(x-x(1))代替解曲线段y(x)，这里y(1)=y0=0折线段的起点为[x(1),y(1)]，终点为[x(2),y(2)].运行exp4_1.m，观察第二、三、四子区间的情况。符号微积分用Matlab符号工具箱（SymbolicToolbox）可以进行符号演算符号微积分(创建符号变量）symvar创建单个符号变量；symsvar1var2…创建多个符号变量；f=sym(‘符号表达式’)创建符号表达式，赋予f；equ=sym('equation')创建符号方程。符号微积分(极限）limit(‘表达式’,var,a)：求当var→a，表达式的极限例：求极限：sin(x)sin(3x)sin(x)lim0xsymsxaI1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0)运行结果符号微积分(求导）diff(f,‘var’,n)求f对变量var的n阶导数缺省n时为求一阶导数缺省变量'var'时，默认变量为x可用来求单变量函数导数多变量函数的偏导数还可以求抽象函数的导数符号微积分(求导）例：求))cos(3x(edxd212xsymsxyf=sym('exp(-2*x)*cos(3*x^(1/2))')diff(f,x)运行符号微积分(求导）symsxyg=sym('g(x,y)')f=sym('f(x,y,g(x,y))')diff(f,x)diff(f,x,2)运行例：求y))g(x,y,f(x,xy)),g(x,y,f(x,x22符号微积分(积分）int(f,var)：求函数f的不定积分；int(f,var,积分下限，积分上限)：求函数f的定积分或广义积分例：求不定积分dzzxy)sin(symsxyzI1=int(sin(x*y+z),z)符号微积分(积分）symsxyzI2=int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1)I3=int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)2）求定积分和广义积分dx,x2x31dx,x2x312102符号微积分(化简、提取和代入)符号运算的结果比较繁琐，使用化简指令可对其进行化简。但是不能指望机器可以完成一切，人的推理往往必须的。常用的化简指令如下展开指令：expand(表达式)；因式分解：factor(表达式)降幂排列：collect（表达式，var）；一般化简：simplify(A)；符号微积分(化简、提取和代入)观察：将展开(a+x)^6-(a-x)^6，然后作因式分解。t_expand=expand(t)t_factor=factor(t_expand)t_simplify=simplify(t)观察结果数值微积分（梯形公式和辛普森公式）trapz(x,y)，按梯形公式计算近似积分；其中步长x=[x0x1…xn]和函数值y=[f0f1…fn]为同维向量，q=quad('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（低阶方法，辛普森自适应递归法求积）q=quad8('fun',a,b,tol,trace,P1,P2,...)（高阶方法，自适应法Cotes求积）在同样的精度下高阶方法quad8要求的节点较少。［x,y］=ode23('fun',tspan,y0,option)（低阶龙格－库塔函数）［x,y］=ode45('fun',tspan,y0,option)（高阶龙格－库塔函数）应用、思考和练习(追击问题)我缉私雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速v）追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？如果能追上，需要用多长时间？应用、思考和练习(追击问题)M0M(x,y)S0Sxyd应用、思考和练习(追击问题)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程的符号解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')xs=simplify(xs1)运行结果，画彗星图/y))dydx((1rdyxd2222020202202Sd/S)Sd(x'0,)Sdx(应用、思考和练习(追击问题)r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)方程的符号解symsydrxs1=dsolve('D2x=-r*sqrt(1+Dx^2)/y','x(20)=0','Dx(20)=0','y')xs=simplify(xs1)运行结果，画彗星图/y))dydx((1rdyxd2222020202202Sd/S)Sd(x'0,)Sdx(应用、思考和练习(追击问题，如果雷达失效)当缉私舰雷达发现d处有一走私船后，雷达突然损坏若假定走私船作匀速直线运动（但不知方向），且缉私舰艇速度v大于走私船速度a，则缉私舰应采用什么样的航行路线，不管走私船从哪个方向逃跑，都能追捕上它？实时动画制作（见实验10）观察：模拟弹簧振动讨论最简单的情形，一弹簧系统作横向运动，其位移由u=2+cos(t)所决定，仿真弹簧的振动实时动画制作(初始化、见实验10）程序讲解animinit('onecart1Animation')axis([-26-1010]);holdon;u=2;xy=[0000uuu+1u+1uu;-1.201.2001.21.2-1.2-1.20];x=xy(1,:);y=xy(2,:);plot([-1020],[-1.4-1.4],'k-','LineWidth',2);hndl=plot(x,y,'k-','EraseMode','XOR','LineWidth',2)实时动画制作(初始化、见实验10）zxy10-2set(gca,'UserData',hndl);fort=1:0.025:1000;u=2+exp(-0.00*t)*cos(t);x=[0000uuu+1u+1uu];hndl=get(gca,'UserData');set(hndl,'XData',x,'YData',y);drawnowend电影动画制作（zxy7_3)moviein、getframe、movie指令x=-8:0.5:8;[XX,YY]=meshgrid(x);r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;Z=sin(r)./r;surf(Z);%画出祯theAxes=axis;%保存坐标值，使得所有帧都在同一坐标系中电影动画制作fmat=moviein(20);%创建动画矩阵，保存20祯forj=1:20;%循环创建动画数据surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z)%画出每一步的曲面axis(theAxes)%使用相同的坐标系fmat(:,j)=getframe;%拷贝祯到矩阵fmat中endmovie(fmat,10)%演示动画10次应用、思考和练习(枪支的设计)枪支发火后，气体压强随子弹在膛内的运动而变化。枪管长度x的单位为m。压强p是距离x的函数，通过实测得到了的一批数据，子弹射出枪管时的出口速度是设计者关心的问题，如果一只枪管长0.6096m，其膛孔面积4.56×10-5m2，子弹重量0.956N，试决定这种型号枪支的出口速度；更一般的，确定出口速度和枪管长度的关系曲线，绘制这一曲线，并作出适当的标记。这样的问题和你在高等数学中处理的积分有什么区别吗？应用、思考和练习(天然气井的开采量)东方天然气公司钻了一口新的气井，他们希望研究一下将这口井于供气管路联接的经济性计算此井的压强随时间的变化曲线，由此得到流量Q与时间t的关系，以此估计此井的总开采量。