武汉工程大学新生入学数学试题及答案

武汉工程大学2012~2013新生入学分班考试数学试题一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的，请把正确选项填涂在答题卡上。）1.对于下列命题：①,1sin1xRx，②22,sincos1xRxx，下列判断正确的是A.①假②真B.①真②假C.①②都假D.①②都真2.某单位有15名成员,其中男性10人,女性5人.现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习.如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考查团的组成方法种数是（）A．35310CCB．25410CCC．615CD．25410AA3.某校为了了解学生的课外阅读情况，随即调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示。根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为A.0.6小时B.0.9小时C.1.0小时D.1.5小时4.有一圆柱形容器，底面半径为10cm，里面装有足够的水，水面高为12cm，有一块金属五棱锥掉进水里全被淹没，结果水面高为15cm，若五棱锥的高为3cm，则五棱锥的底面积是A.100cm2B.100cm2C.30cm2D.300cm25．已知数列1{}nnapa为等比数列,且23nnna,则p的值为A.2B.3C.2或3D.2或3的倍数6．若α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分条件是A.α⊥β且a⊥βB.αβ＝b且a∥bC.a∥b且b∥αD.α∥β且aβ7．已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2xxaa,若g(a)=a,则f(a)的值为A.1B.2C.154D.1748.已知()fx是以2为周期的偶函数，当[0,1]x时，()fxx，那么在区间[1,3]内，关于x的方程()1fxkxk（其中k走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是A．(1,0)B．1(,0)2C．1(,0)3D．1(,0)4二、填空题（每小题5分，共30分。）9已知集合0,1,2M，20log(1)2NxxZ，则NM＿人数(人)00.51.01.52.0时间(小时)2015105PABCDE10．在ABC中，AC=22，A=45°，B=30°，则BC=___________．11．若)127cos(,31)12sin(则的值为＿.12．已知,xyR，且121xy，则23xy的取值范围是______________．13．直线30xy绕点(3,3)按逆时针方向旋转6后所得直线与圆222(2)xyr相切,则圆的半径r=___________.14．如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC.若DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E.下列结论中,正确的有_____________.(写出所有正确结论的序号)①SC⊥AB;②AC⊥BE;③BC⊥平面SAB;④SC⊥平面BDE.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。）15．已知a1sin3(,sin)22xx,b1sin1(,cos)22xx,()2fxa·b+1.(I)求函数()fx的最小正周期和最大值;(II)该函数的图象可由sin()yxxR的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?16．如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为2的正方形，CDPDBCPB,，且2PA，E为PD中点.（Ⅰ）求证：PA平面ABCD；（Ⅱ）求二面角DACE的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为552？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.17．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨；每一吨甲种棉纱的利润是600元，每一吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的EDCBAS计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨。甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能能使利润总额最大？18．已知B2，B1分别是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的上、下顶点，F是C的右焦点，FB1＝2，F到C的左准线的距离是733．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是C上与B1，B2不重合的动点，直线B1P，B2P与x轴分别交于点M，N．求证：OMON是定值．19．已知函数3()log,(01)3axfxaax且。(Ⅰ)判定)(xf在(,3)上的单调性，并证明；(Ⅱ)设)1(log1)(xxga，若方程)()(xgxf有实根，求a的取值范围.20．已知下表给出的是由nn(n≥3，nN)个正数排成的n行n列数表，ija表示第i行第j列的一个数，表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比为q，已知1314a，2338a，321a。(Ⅰ)求11a，d，q的值；(Ⅱ)设表中对角线的数11a，22a，33a，，nna组成的数列为{}nna，记112233nnTnaaaa，求使不等式2443nnnTn成立的最小正整数n。武汉工程大学2012-2013新生入学分班考试数学答案一、选择题题号12345678答案BBBDCDCC二、填空题xyOlF9．2,110．411．1312.[843,)13、3114、②、③三、解答题15、(I)Π74(II)将函数sin()yxxR的图象向左平移6个单位,再将横坐标与纵坐标均缩小到原来的12倍,最后将图象向上平移54个单位,即可得到16：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴ABBC，又PBBC，∴BC平面PAB，∴PABC.同理PACD，∴PA平面ABCD（Ⅱ）33（Ⅲ）55217．生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨时，总利润最大。最大总利润是max35020060090013000033z（元）18．（1）设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由已知得，FB1＝a＝2，c＋a2c＝733，所以a＝2，c＝3，b＝1．所以所求的椭圆方程为x24＋y2＝1．（2）设P(x0，y0)(x0≠0)，直线B1P：y＋1y0＋1＝xx0．令y＝0得x＝x0y0＋1，即M(x0y0＋1，0)．直线B2P：y－1y0－1＝xx0，令y＝0得x＝－x0y0－1，即N(－x0y0－1，0)∴OMON＝－x02y02－1．∵x024＋y02＝1，∴1－y02＝x024，∴OMON＝－x02y02－1＝4．即OMON为定值．19．(Ⅰ):任取123xx,则：)3)(3()3)(3(log33log33log)()(2121221121xxxxxxxxxfxfaaa,∵121212(3)(3)(3)(3)10()0xxxxxx又12(3)(3)0xx且12(3)(3)0xx1)3)(3()3)(3(02121xxxx,∴当1a时，12()()0fxfx,∴()fx单调递增，当01a时,12()()0fxfx,∴()fx单调递减.(Ⅱ)若()()fxgx有实根，即：)1(log133logxxxaa∴.301033xxxx即方程：)1(33xaxx有大于3的实根∴)63)(23(3)3)(1(3xxxxxxa（∵3x）43234818)3(12)3(112)3(8)3(32xxxxx当且仅当1233xx即323x时成立，∴23(0,]4a20.【解】(Ⅰ)由题设知：,1)2(,83)(,4111211211qdaqdaqa解得21,21,111qda。(Ⅱ)11nnnnqaa111])1([nqdna111[1(1)]()22nnnn)21)(1(，nnnaaaaT332211nn)21()1()21(4)21(3)21(2321，1332)21()1()21()21(3)21(221nnnT两式相减得132)21)(1()21()21()21(121nnnnT1)21)(1(211])21(1[2121nnn，nnnT233，……10分于是原不等式化为040234nn，即0)82)(52(nn，82n，3n。故使不等式成立的最小正整数为4。