初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)

《分式》竞赛专题训练1分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题(1)当x为何值时，分式22211xx有意义?(2)当x为何值时，分式22211xx的值为零?解题策略(1)要使分式22211xx有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x和11x，它们都不为零，即0x且110x，于是当0x且1x时，分式22211xx有意义，(2)要使分式22211xx的值为零，应有2220x且110x，即1x且1x，于是当1x时，分式22211xx的值为零画龙点睛1.要使分式有意义，分式的分母不能为零.2.要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1.(1)要使分式24xx有意义的x的取值范围是()(A)2x(B)2x(C)2x(D)2x(2)若分式的的值为零，则x的值为()(A)3(B)3或3(C)3(D)02.(1)当x时，分式23(1)16xx的值为零;(2)当x时，分式2101xx3.已知当2x时，分式xbxa无意义;当4x时，分式的值xbxa为零，求ab.融会贯通4.若201aa，求a值的范围.2分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题若2731xxx，求2421xxx的值解题策略因为2731xxx，所以0x将等式2731xxx的左边分子、分母同时除以x，得1713xx，所以有1227xx因此242222211149112214351()1()17xxxxxxx画龙点睛对于含有1xx形式的分式，要注意以下的恒等变形:22211()2xxxx22211()2xxxx2211()()4xxxx举一反三1.(1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;10.50.2210.20.53abcabc(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:3211aaa2.已知13xyxy，求2322xxyyxyxy的值.3.已知13xx，求2421xxx的值.融会贯通4.已知3abba，求22224aabbaabb的值.3分式的四则运算分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题计算：22448()()[3()]yxxyxyxyxyxyxyxy解题策略原式2222()4()43()()8xyyxyxxyxyxyxyxyxyg()(3)(3)()(3)(3)xyxyxyyxxyxyxyxyxyggyx画龙点睛在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.举一反三1.先化简，再求值：262393mmmm，其中2m.2.计算：322441124aaabababab3.(1)已知实数a满足2280aa，求22213211143aaaaaaa的值(2)已知a、b为实数，且1ab，设11abMab，1111Nab，试比较M、N的大小关系.融会贯通4.甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4分式的运算技巧——裂项法我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如134512(1)(2)xxxxx反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:11ABABBA，111(1)1nnnn经典例题已知54(1)(21)121xABxxxx，求A、B的值解题策略由54(21)(1)(1)(21)121(1)(21)xABAxBxxxxxxx(2)(1)(21)ABxBAxx，可得254ABBA，解得13AB画龙点睛已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A、B的值即可.举一反三1.若在关于x的恒等式222MxNcxxxaxb中，22MxNxx为最简分式，且有ab，abc，求M，N.2.化简：222211113256712xxxxxxxx3.计算：222222abcbcacabaabacbcbabbcaccacbcab融会贯通4.已知21(2)(3)23xbcaxxxx，当1,2,3x时永远成立，求以a、b、c为三边长的四边形的第四边d的取值范围.5含有几个相等分式问题的解法有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.经典例题已知xyzxyzxyzzyx，且()()()1xyyzzxxyz，求xyz的值解题策略由xyzxyzxyzzyx得111xyxzyzzyx从而xyxzyzzyx设xyxzyzkzyx，则xykz，xzky，yzkx三式相加得2()()xyzkxyz，即()(2)0xyzk，所以0xyz，或2k若0xyz，则1xyxzyzzyxg，符合条件；若2k，则()()()81xyyzzxxyz与题设矛盾，所以2k不成立因此0xyz画龙点睛1.将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2.在得到等式2()()xyzkxyz后.不要直接将等式的两边除以xyz，因为此式可能等于0.3.在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.举一反三1.(1)已知275xyz，求值①xyzz；②xyz；③xyzx(2)已知2310254abbcca，求56789abcab的值2.若abcdbcaa，求abcdabcd的值3.已知实数a、b、c满足0abc，并且abckbccaab，则直线3ykx一定通过()(A)第一、二、三象限(B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限(D)第一、三、四象限融会贯通4.已知9pqr，且222pqrxyzyzxzxy，求pxqyrzxyz的值6整数指数幂一般地，当n是正整数时，1(0)nnaaa，这就是说(0)naa是na的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题已知2mx，3ny，求24()mnxy的值解题策略242(4)(4)84()mnmnmnxyxyxygg848481()()23256mnxy画龙点睛将所求的代数式转化为以mx、ny为底的乘方，进而代入相应的值进行计算.举一反三1.计算(1)222242(2)()abababg(2)541321111(1)()()()()21023(3)10222(510)(0.210)(200)2.水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是26310kg，8g水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为262.66510kg，求一个氢原子的质量.3.已知2310aa，求(1)1aa；(2)22aa；(3)44aa融会贯通4.如图，点O、A在数轴上表示的数分别是0、0.1.将线段(OA分成100等份，其分点由左向右依次为1M、2M，…，99M;再将线1OM分成100等份，其分点由左向右依次为1N、2N，…，99N;继续将线段1ON分成100等份，其分点由左向右依次为1P、2P…，99P.则点37P所表示的数用科学记数法表示为7分式方程的解法分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.经典例题解方程52432332xxxx解题策略解法一去分母，得(52)(32)(43)(23)xxxx2215610486129xxxxxx所以1x验根知1x为原方程的解.解法二方程两边加1，得5243112332xxxx即222332xx所以2332xx解得1x验根知1x为原方程的解.解法三原式可化为22112332xx所以222332xx以下同解法二画龙点睛1.通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2.除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3.解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三1.(1)解方程2227461xxxxx(2)解方程2222112xxxxxxxx2.(1)解方程22252571061268xxxxxxxxx(2)解方程253336237456xxxxxxxx3.若解方程61(1)(1)1mxxx是会有增根，求它的增根融会贯通4.已知方程11xcxc(c是常数，0c)的解是c或1c，求方程2131462aaxxa(a是常数，且0a)的解.8列分式方程解应用题和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.经典例题某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求该市今年居民用水的价格.解题策略设该市去年居民用水价格为x元/m3，则今年用水价格为(125%)x元/m3.根据题意得:36186(125%)xx，解得：1.8x经检验：1.8x是原方程的解.所以(125%)2.25x所以该市今年居民用水的价格为2.25元/m3.画龙点睛列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式方程并验根;写出答案.举一反三1.某服装厂准备加工300套演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?2.便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格出售，很快售完.又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?3.从甲地到乙地共50km，其中开始的10km是平路，中间的20km是上坡路，余下的20km又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达