《通信原理》培训PPT课件(第二章)

第二章信号与噪声一、信号与噪声二、分析方法①时域分析②频域分析三、分析工具：①确知信号——傅里叶分析的方法；②随机信号——随机过程的理论来描述。①信号：确知信号和随机信号。②噪声：具有随机性就称其为周期性信号。其中n＝0，1，2，…，T为信号周期。2．1信号的频谱分析确知信号：表征信号的所有参数都是确定的。（周期信号、非周期信号）2．1．1傅里叶级数一、周期信号如果一个信号f(t)满足如下关系()()()ftftnTt（2.1）二、周期信号的频谱——傅立叶级数任何一个周期函数f(t)，只要它满足狄里赫利条件，都可用傅里叶级数表示，即02()(22)jntjntTnnnnftFeFe指数型傅里叶级数其中：0021,fTTf0称为信号的基频，nf0、nω0称为n次谐波频率。其中：——f(t)的平均值，即直流分量。0021,fTT2222201()1()(0,1,2,)TnjtTTnTjntTFftedtTftedtnT（2-3）f0称为信号的基频，nf0、nω0称为n次谐波频率。2021()TTFftdtT当n=0时：傅里叶系数Fn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此Fn称为信号的频谱。Fn*(复共轭）的表示形式是：**2201()(0,1,2,)TjntTnFftedtnT若f(t)是实信号，则有*nnFF02()(22)jntjntTnnnnftFeFe小结：2222201()1()(0,1,2,)TnjtTTnTjntTFftedtTftedtnT周期信号的频谱Fn是离散的，由间隔为f0(ω0)的谱线组成，且对于物理可实现的信号，幅度谱是偶对称的（关于纵轴对称），相位谱是奇对称的（关于原点对称）。jnnnFFe|Fn|——幅度谱——相位谱n解：在一个周期内，f(t)可表示为：[例2—1]幅度为A，宽度为τ，周期为T的矩形脉冲序列如图2．1(a)所示，将其用指数傅里叶级数展开。22()0Atft其他利用式(2．6)，并令ω0＝2л／T，有：5A222200000012sin22jtnjntFAedtTAejnTAnnTAnSaT式中利用了Sa(x)＝sinx／x的形式。5Aτ／T＝1／5的幅度频谱图为：（ω0的整数倍的离散谱线）02nAnFSaT5A028T一般来说，Fn是一个复数，由Fn确定周期信号f(t)的第n次谐波分量的幅度，它与频率之间的关系图形称为信号的幅度频谱。因为它不连续，仅存在于ω0的整数倍处，故将这种频谱叫离散频谱。可见：给定周期信号f(t)，可以利用傅立叶分解的方法确定它的频谱；反之，利用式(2-2)也可以求出它所对应的信号。三、重要结论在时间域中，作为时间的函数定义f(t)；在频率域中，按照它的频谱确定此信号。我们可以用这两种彼此等价的关系确定一个周期性信号。2．1．2傅里叶变换一、非周期信号非周期性信号可看做是周期T→∞时的周期性信号。考虑图2．2(a)所示的函数f(t)，由其构造一个周期性fT(t)，其周期为T，如图2．2(b)所示。显然，当T→∞时，fT(t)的极限就是f(t)，即(2.7))()(limtftfTTFn表示频率为nω0的分量的振幅。当T增大时，基频ω0变小（nω0变小），频谱变密。当T→∞时，频谱将存在于每一个ω值处，它不再是ω的离散函数，而是ω的连续函数了。二、非周期信号的傅立叶分解由式(2．4)和式(2．6)知式中，ω0＝2л／T0()(28)jntTnnftFe0221()(29)TjntnTTFftedtT和这就是在整个区间(－∞＜t＜∞)内由指数函数来表示非周期函数的表达式。也既有如下关系式：1()()(215)2jtftFed()()(216)jtFftedt因此，信号既可以用时间函数f(t)来描述，也可以用它的频谱F(ω)来描述。三、重要结论把F(ω)叫做f(t)的频谱密度函数，或简称频谱。信号f(t)与其频谱F(ω)之间是一一对应的关系。傅里叶变换（正、反变换）提供了信号在频率域和时间域之间的相互变换关系。()()(217)ftF解：利用式(2．16)四、举例[例2－2]：试求图2．3(a)所示矩形脉冲的频谱。2222sin222jtjteFAedtAAASaj[例2—3]：求图2．4(a)所示信号的傅里叶变换。(a)函数(b)函数的频谱()t图2.4冲激函数及其频谱()t单位冲激函数的筛选性质或抽样性质解：（一）δ(t)函数——单位冲激函数或狄拉克函数意义：除了在t＝0处不为0外，其他处皆为0，且在t＝0处为无限大，但其面积为1，即性质：设f(t)是一个在t=0处连续的任意时间函数，由δ(t)的定义，f(t)与δ(t)乘积的积分()00219()1tttdt()()(0)220fttdtf显然还可写出（二）δ(t)的傅里叶变换δ(ω)根据傅里叶变换的定义00()()()221ftttdtft0()()1jtjtedte周期为T的周期信号f（t），其瞬时功率等于∣f（t）∣2，在周期T内的平均功率2．1．3功率谱密度和能量谱密度一、功率信号（周期的、时间无限信号）1、功率信号周期信号(能量无限,平均功率为有限值)——功率信号。2、功率信号的平均功率平均功率：单位电阻上所消耗的平均功率（简称功率）2221()TTPftdtT交换积分号和求和号的次序由于式中，f*(t)为f(t)的复数共轭值，于是2*()()()ftftft22*21()nTjtTnTnPftFedtT22*21()nTjtTnTnPFftedtT因此2*(2.23)nnnnnPFFF一个周期信号的归一化平均功率等于信号所有谐波分量幅度的平方之和，即总功率等于各个频率分量单独贡献出的功率之和。３、重要结论（帕什瓦尔功率定理）：假设时间无限信号f(t)，若用fT(t)代表f(t)在–T／2＜t＜T／2区间上的截短函数，如图2．5所示，则二、非周期的、时间无限信号的功率谱密度()22-29()0TTfttft（）其他根据平均功率的定义只要T为有限值，fT(t)就具有有限的能量，即若2()TEftdt()TTftF221()()()211()()22jtTTTjtTTTEftdtftFeddtFftedtdFd222211lim()lim2TTTTTTFPftdtdTT则有：定义功率密度谱(或功率谱密度)，用符号Sf(ω)表示（单位为W／Hz)即：信号的平均功率对于实信号，Sf(－ω)＝Sf(ω)，Sf(ω)是个偶函数，于是故，Sf(ω)——代表功率沿频率轴的分布。12fPSd2limTfTFST00122ffPSdSfdf能量信号f(t)的归一化能量(简称能量)定义为由电压f(t)加于单位电阻(或电流f(t)通过单位电阻)所耗散的能量。所以能量三、能量信号（时间有限信号）1、能量信号对于一个有界的、持续时间有限的信号，信号能量为有限值，全部时间的平均功率为零。这种信号叫做能量信号。2、能量信号的能量谱密度2()Eftdt对于实函数f(t)设能量信号f(t)的频谱为F(ω)，则交换积分次序21()()2jtEftdtftFeddt11()22jtEFftedtdFFd2*FFFFF此式表明，信号的能量等于ξ(ω)曲线下的总面积。故ξ(ω)是能量密度的测度,单位为J/Hz，它代表信号能量沿频率轴的分布状况。可得瑞利(Reyleig)能量定理。定义能量密度谱(或能量谱密度)：因此能量212EFd2F1()(2)2Edfdf实波形ξ(ω)是ω的偶函数，因此022Efdf信号的性质可以从时域和频域两个不同的角度来描述。小结：信号的频域性质，即频率特性，由其各个频率分量的分布表示，可以用频谱、频谱密度、能量谱密度和功率谱密度来描述，通过运用傅里叶级数和傅里叶变换来实现。信号的时域特性主要由自相关函数和互相关函数来描述。为f1(t)和f2(t)的卷积。2．2卷积和相关2．2．1卷积一、卷积积分它表述对两个(或多个)函数之积进行变换的运算法则。给定两个函数f1(t)和f2(t)，定义：1212()*()()()(239)ftftfftd（1）交换律二、图解说明（自学）三、卷积的代数定律（3）结合律（2）分配律1221()*()()*()(240)ftftftft1231213()*()()()*()()*()(241)ftftftftftftft123123()*()*()()*()*()(242)ftftftftftft将式(2．43)推广可得如下等式四、包含冲激函数的卷积函数f(t)和单位冲激函数δ(t)的卷积得出函数f(t)本身，即则五、卷积定理（1）时间卷积定理若结论：卷积定理表明：时域中两函数的卷积等效于在领域中它们频谱的乘积，而在时域中两个函数的乘积等效于在领域中它们频谱的卷积。（2）频率卷积定理若则1、互相关：如果f1(t)和f2(t)不同，则式(2．49)是互相关积分。2、自相关：如果f1(t)和f2(t)相同，则它就是自相关积分.2．2相关一、相关相关函数是衡量波形之间关联或相似程度的一个函数。表示两个信号之间或同一个信号相隔时间τ的相互关系。设两个信号f1(t)和f2(t)，定义相关积分为：1212()*()()(249)Rftftdt()*()()(250)Rftftdt它表明周期信号的相关函数是在整个周期内取时间的平均值。3、周期信号的相关函数：若f1(t)和f2(t)为两个周期信号，且它们的周期皆为T，则相关函数定义为2121221()*()()(251)TTRftftdtT或者4、互相关之间的关系在式(2．49)中信号f2(t)向左移动τ，由此用同样方法可以写出1212()*()()(253)Rftftdt