余弦定理题型

1第二讲余弦定理1．余弦定理(1)语言叙述：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦求积的两倍．(2)公式表达：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(3)推论：在△ABC中，cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.2．余弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．要点一已知两边与一角解三角形1.(2012·陕西卷)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.【解析】由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23cosπ6＝16－12＝4，∴b＝2.2、在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.【解析】解法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.解法二：由bc，B＝30°，bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝b2＋c2＝32＋332＝6，当C＝120°时，A＝30°，∴△ABC为等腰三角形，∴a＝3.3、(2012·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝14，则sinB＝________.解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，故c＝2，而sinC＝154，∵b＝c，故sinB＝sinC＝154.答案：1544．(2012·湖南卷)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析：设BC边上的高为h.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos60°，即7＝AB2＋4－2AB，AB2－2AB－3＝0∴AB＝3，∴h＝ABsin60°＝3×32＝332.答案：B5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，2所以49＝64－2bc1－12，即bc＝15，由b＋c＝8，bc＝15，解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.答案：b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.6.(2012·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．【解】(1)解法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝12.由于0Aπ，故A＝π3.解法二：由题设可知，2b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.由于0Aπ，故A＝π3.(2)解法一：因为AD2→＝AB→＋AC→22＝14(AB2→＋AC2→＋2AB→·AC→)＝141＋4＋2×1×2×cosπ3＝74，所以|AD→|＝72，从而AD＝72.解法二：因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝π2.因为BD＝32，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.7．(2013·吉林省长春三校高三年级调研测试)△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，且AB→·AC→＝AC→2，则BC＝________.解析：∵AB＝3，AC＝2，AB→·AC→＝AC→2，∴cosA＝23，于是，利用余弦定理得到，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝5，∴BC＝5.答案：5练习：1．(2013·合肥市高三第二次教学质量检测)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝π3，3a＝2c＝6，则b的值为()A.3B.2C.6－1D．1＋6解析由题意知a＝2，c＝3，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab，把C＝π3，a＝2，c＝3代入上式解得b＝1＋6，故选D.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝14，a＝4，b＋c＝6，且bc，求b，c的值．解：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc，a＝4，cosA＝14，∴16＝(b＋c)2－2bc－12bc.又b＋c＝6，∴bc＝8.解方程组b＋c＝6，bc＝8，得b＝2，c＝4，或b＝4，c＝2.又∵bc，∴b＝2，c＝4.9．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A、B和边c的值．解：cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c＝8－43＝6－22＝6－2.由正弦定理，得asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝asin15°c＝2×6－246－2＝12.∵ba，sinA＝12，∴A＝30°.∴B＝180°－A－C＝135°.310.(2013·福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝π2.∵sin∠BAC＝223，∴sin∠BAD＋π2＝223，∴cos∠BAD＝223.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3.∴BD＝3.答案：311、在△ABC中，c＝150，b＝503，B＝30°，则边长a＝解：a＝503或1003要点二已知三边解三角形1、在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．【解】解法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.解法二：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.由正弦定理asinA＝bsinB知23sin45°＝6sinB，得sinB＝6·sin45°23＝12.因ab知AB，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.2、在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．【解】由余弦定理的推论得：cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝23.设AC边上的中线长为x，由余弦定理得，x2＝AC22＋AB2－2·AC2·AB·cosA＝49.∴x＝7.即AC边上的中线长为7.3、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，则角A的大小为________．解析∵b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又∵0°A180°，∴A＝60°4、(2012·湖南卷)在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析：在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2×AB×12.整理得AB2－2AB－3＝0.解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3×sin60°＝332.答案：B练习：1．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则角B等于()4A．30°B．45°C．60°D．120°解析：cosB＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，B＝60°.答案：C2．在△ABC中，c2－a2－b2＝3ab，则角C为()A．60°B．45°或135°C．150°D．30°解析：∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝－3ab2ab＝－32，∴C＝150°.答案：C3．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π12解析：∵cba，∴最小角为角C.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－132×7×43＝32.∴C＝π6，答案：B4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：设边长7对应的角为B，则cosB＝52＋82－722×5×8＝12，所以B＝60°.所以最大角与最小角的和是180°－B＝120°.答案：B5．(2013·保定市第一学期高三期末调研考试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bccosA＋cacosB＋abcosC＝3，则a2＋b2＋c2＝()A.32B．3C．6D．9解析：由余弦定理得bccosA＝bcb2＋c2－a22bc＝b2＋c2－a22，同理cacosB＝caa2＋c2－b22ac＝a2＋c2－b22；abcosC＝abb2＋a2－c22ba＝b2＋a2－c22，三式相加得bccosA＋cacosB＋abcosC＝a2＋b2＋c22＝3所以a2＋b2＋c2＝6，所以选C.6．(2013·课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5解析：由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝125.∵A∈0，π2，∴cosA＝15.∵cosA＝36＋b2－492×6b，∴b＝5或b＝－135(舍)．故选D.8．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→等于()A．19B．－14C．－18D．－19解析：由余弦定理cos∠ABC＝52＋72－622×5×7＝1935∴∠ABC补角的余弦值为－1935，∴AB→·BC→＝7×5×－1935＝－19.9．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.解析：∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.答案：010．(2012·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，5且ABC,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4解析：∵ABC，∴abc，设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA得3b＝20(b＋1)·b2＋b－12－b＋122bb－1化简得7b2－27b－40＝0，解得b＝5或b＝－87(舍去)，∴a＝6，c＝4，由正弦定理．∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.答案：D11．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．解析：由正弦定理得BC∶AC＝sinA∶sinB＝1∶2，又∵BC＝10，∴AC＝20.∴AB＝AC＝20，∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.答案：50要点三