三次函数的切线问题

1高考中三次函数图象的切线问题镇江实验高中杨勇一、已知斜率为k与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23adcxbxaxxf1、0a,斜率aback332时，有且只有一条切线；aback332时，有两条不同的切线；aback332时，没有切线；2、0a,斜率aback332时，有且只有一条切线；aback332时，有两条不同的切线；aback332时，没有切线；证明cbxaxxf23)(2/1、0a当abx3时，.33)(2min/abacxf当aback332时，方程abaccbxax332322有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：).3(33)3(2abxabacabfy当aback332时，方程kcbxax232，有两个不同的解21,xx，且21xx=-ab32，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211xfxxfx，且两个切点关于2三次函数图象对称中心对称。所以斜率为k的切线有两条。当aback332时，方程kcbxax232无实根，所以斜率为k的切线不存在。2、0a时，读者自己证明。二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数)0()(23adcxbxaxxf图象上任一点，则过点P一定有直线与)(xfy的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明设),(11yxP过点P的切线可以分为两类。1P为切点cbxaxxfk1211/123)(切线方程为：))(23(11211xxcbxaxyy2P不是切点，过P点作)(xfy图象的切线，切于另一点Q（22,yx）12122122313212122xxcxcxbxbxaxaxxxyykcbxbxaxxaxax21212122又cbxaxxfk2222/223)(（1）cbxbxaxxaxax21212122cbxax22223即0)2)((1212abxxxxabxx22112代入（1）式得cabbxaxk4214321212讨论：当21kk时，cbxax12123cabbxax421432121abx31，也就是说，3当abx31时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。当abx31时，21kk，所以过点P有两条不同的切线。其切线方程为：))(23(11211xxcbxaxyy))(42143(121211xxcabbxaxyy由上可得下面结论：过三次函数)0()(23adcxbxaxxf上异于对称中心的任一点),(111yxP作)(xfy图象的切线，切于另一点),(222yxP，过),(222yxP作)(xfy图象的切线切于),(333yxP，如此继续，得到点列),(444yxP----),(nnnyxP----，则abxxnn2211，且当n时，点趋近三次函数图象的对称中心。证明设过),(nnnyxP与)(xfy图象切于点),(111nnnyxP的切线为1nnPP，cbxbxaxxaxaxxxyyknnnnnnnnnn1212111又cbxaxxfknnn1211/23)(cbxbxaxxaxaxnnnnnn12121=cbxaxnn12123即0)2)((11abxxxxnnnnabxxnn2211设)(211nnxx则ab3数列}3{abxn是公比为21的等比数列，11)21)(3(3nnabxabx即abxnn3lim。三、过三次函数图象外一点的切线设点),(00yxP为三次函数)0()(23adcxbxaxxf图象外一点，则过点P一定有直线与)(xfy图象相切。（1）若,30abx则过点P恰有一条切线；4（2）若,30abx且)3()(0abgxg0，则过点P恰有一条切线；（3）若,30abx且)3()(0abgxg=0，则过点P有两条不同的切线；（4）若,30abx且)3()(0abgxg0，则过点P有三条不同的切线。其中).)(()()(0/0xxxfxfyxg证明设过点P作直线与)(xfy图象相切于点),,(11yxQ则切线方程为),)(23(11211xxcbxaxyy把点),(00yxP代入得：02)3(2001021031cxdyxbxxaxbax，设.2)3(2)(000203cxdyxbxxaxbaxxg,2)3(26)(002/bxxaxbaxxg,)3(448)3(420020baxabxaxb令,0)(/xg则.3,0abxxx因为0)(xg恰有一个实根的充要条件是曲线)(xgy与X轴只相交一次，即)(xgy在R上为单调函数或两极值同号，所以,30abx或,30abx且)3()(0abgxg0时，过点P恰有一条切线。0)(xg有两个不同实根的充要条件是曲线)(xgy与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30abx且)3()(0abgxg=0时，过点P有两条不同的切线。0)(xg有三个不同实根的充要条件是曲线)(xgy与X轴有三个公共点，即)(xgy有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以,30abx且)3()(0abgxg0时，过点P有三条不同的切线。