直线一级倒立摆系统的建模及仿真

-1-计算机控制技术课程设计-2-实验：直线一级倒立摆系统的建模及仿真一、已知条件：图1倒立摆简化模型摆杆角度为输出，小车的位移为输入。导轨中点为坐标轴的中心即零点，右向为坐标值增加的方向，杆偏移其瞬时平衡位置右侧的角度为正值。二、任务要求：总体任务通过调节PID参数，设计PID控制器实现摆杆在受到干扰的情况下，依然能恢复平衡。具体包括以下几部分：1.理论推导包括倒立摆系统的动力学模型，传递函数，离散传递函数，状态空间或差分方程，稳定性分析，PID控制器设计2.程序实现实现内容：倒立摆系统模型，控制器以及仿真结果的显示。开发语言和工具：Matlabm文件或C/C++(工具：VC++或其它)3.PID控制参数设定及仿真结果。分别列出不同杆长的仿真结果（例如：L=0.25和L=0.5）。4.将理论推导、程序实现、仿真结果写成实验报告。-3-具体求解过程如下：一，倒立摆系统动力学模型的建立图1摆杆的受力分析图以摆杆为研究对象，对其进行受力分析，如图1所示。根据质点系的达朗贝尔原理得ICI0FCPmgCPM（1）式中，ICF为杆的惯性力，表达式为ICCPCPCPIPICPICPtntnFmamaaaFFF，m为杆的质量，g为重力加速度，IM为杆的惯性力偶。惯性力及惯性力偶的大小分别为2222IPPICPIc2221,,3tdxddFmamFmmMJmLdtdtdt（2）式中，为杆的角加速度，Pa为小车的加速度，2L为杆的长度，为杆偏离中心位置的角度，x偏离轨道中心的位移。对（2）式代入（1）式，并整理可得22224sincos3ddxLgdtdt（3）当摆动较小时，可以进行近似处理sin,cos1。故（3）式可化为222243ddxLgdtdt（4）对（4）式进行拉普拉斯变换得2243LssgssXs（5）IMPCICFmg-4-则系统的开环传递函数为222243ssasGsXssagLsg（6）式中，34aL二，离散传递函数，差分方程、状态空间及稳定性分析1，离散传递函数将连续系统离散化，根据连续传递函数()Gs可求得相应的脉冲传递函数为121121212121111122221/2/21TsagTagTagTagTagTagTeasGzZGszZssagazZsagsageezeezaaeezzaaabzabzbzz（7）式中，agTagTbee。将参数1,10,0.01LgT代入（7）式得该参数下的脉冲传递函数为12120.751.500.750312.001zzGzzz（8）2，根据离散传递函数求系统差分方程由1212/2/21zaaabzabzGzXzbzz可得121222ababzbzzzzaXzazXzzXz（9）进行反变换即可得到对应的差分方程121222ababkbkkaxkaxkxk（10）将参数1,10,0.01LgT代入（10）式得该参数下的差分方程为-5-2.001120.751.5010.75032kkkxkxkxk（11）3，根据离散传递函数求系统状态空间表达式根据12121212/2/2211abazbzzaaabzabzGzaXzbzzbzz设121XzWzbzz（12）则121222WzbzWzzWzXzababzaXzazWzazWz（13）选取状态变量121121,XzzWzXzzWzzXz（14）将Wz代入12,XzXz，取z反变换，可得状态方程112212111100122xkxkbxkxkxkababkaxkaxkaxk（15）将参数1,10,0.01LgT代入（15）式得该参数下的状态方程为11221212.00081110010.750.00030.0003xkxkxkxkxkkxkxkxk（16）4，稳定性分析对于开环系统，由传递函数可得系统的特征方程为22.0011zzz（17）特征方程的根为121.032,0.969zz。由于特征根中有一个大于1，位于单位圆外，故系统是不稳定的。四，PID控制器设计由以上分析可知，系统是不稳定的，为使倒立摆在受到干扰时能保持稳定，必须对系统进行PID控制器的设计。-6-倒立摆计算机控制系统的框图如下模拟PID控制器的基本算式为01kPIDjxkKekKejKekek（18）根据式（16）和（18）可求得在不同,,PIDKKK下的摆角值。具体的仿真过程如下：1，取ID2.0,0.3KK固定不变，PK分别取0.5,1.0,1.5,2.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a1)012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=0.5,KI=-2.0,KD=-0.3t/sXseTrXTzGz0GshGsDzsPID1Tses22assag倒立摆控制系统结构图-7-(b1)(c1)012345678910-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/s012345678910-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1KP=1.5,KI=-2.0,KD=-0.3t/s-8-(d1)由图(a1)、(b1)、(c1)、(d1)可知，当P0.5K时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大PK到1.0，系统的调节时间变短；当P1.5K时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当P2.0K时，倒立摆已无法恢复稳定。2，取PD1.0,0.3KK固定不变，IK分别取-0.5,-1.5,-2.5,-3.5，倒立摆的输出变化曲线如下：(a2)012345678910-2-1.5-1-0.500.511.5x1042KP=2.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/s012345678910-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1KP=1.0,KI=-0.5,KD=-0.3t/s-9-(b2)(c2)012345678910-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1KP=1.0,KI=-1.5,KD=-0.3t/s012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=1.0,KI=-2.5,KD=-0.3t/s-10-(d2)由图(a2)、(b2)、(c2)、(d2)可知，当I0.5K时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长后无法达到稳定；继续减小IK到-1.5，系统可以达到稳定；当I2.5K时，系统的调节时间变短；当IK减小到-3.5时，倒立摆已无法恢复稳定。3，取PI1.0,2.0KK固定不变，DK分别取-0.1,-0.3,-0.5,-0.7，倒立摆的输出变化,曲线如下：012345678910-3-2-10123x108KP=1.0,KI=-3.5,KD=-0.3t/s012345678910-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.1t/s-11-(a3)(b3)(c3)012345678910-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.3t/s012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.5t/s-12-(d3)由图(a3)、(b3)、(c3)、(d3)可知，当IK从-0.1减小到-0.7时，倒立摆在受到干扰时达到稳定的调节时间先减小后增大，到-0.7时系统已无法恢复稳定。五，改变杆长后的仿真结果将杆长由1L改为0.5L，系统的仿真结果如下：1，取ID1.2,0.1KK固定不变，PK分别取0.2,0.4,0.8,1.0，倒立摆的输出变化曲线如下：(a11)012345678910-2-1.5-1-0.500.511.52x1017KP=1.0,KI=-2.0,KD=-0.7t/s012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=0.2,KI=-1.2,KD=-0.1t/s-13-(b11)(c11)012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.1t/s012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=0.8,KI=-1.2,KD=-0.1t/s-14-(d11)由图(a11)、(b11)、(c11)、(d11)可知，当P0.2K时，倒立摆在受到干扰时可以达到稳定；继续增大PK到0.4，系统的调节时间变短；当P0.8K时，虽然倒立摆仍能稳定，但调节时间变长；当P1.0K时，倒立摆已无法恢复稳定。2，取PD0.4,0.1KK固定不变，IK分别取-1.0,-1.3,-1.6,-1.9，倒立摆的输出变化曲线如下：012345678910-1.5-1-0.500.51x1051KP=1.0,KI=-1.2,KD=-0.1t/s012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=0.4,KI=-1.0,KD=-0.1t/s-15-(a12)(b12)(c12)012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=0.4,KI=-1.3,KD=-0.1t/s012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2KP=0.4,KI=-1.6,KD=-0.1t/s-16-(d12)由图(a12)、(b12)、(c12)、(d12)可知，当I1.0K时，倒立摆在受到干扰时开始可以达到稳定，但当时间变长时会失去稳定；继续减小IK到-1.3，系统可以达到稳定；当I1.6K时系统可以稳定但调节时间变长；当IK减小到-1.9时，倒立摆已无法恢复稳定。3，取PI0.4,1.2KK固定不变，DK分别取-0.01,-0.1,-0.2,-0.24，倒立摆的输出变化,曲线如下：012345678910-3-2-10123x1096KP=0.4,KI=-1.9,KD=-0.1t/s012345678910-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15KP=0.4,KI=-1.2,KD=-0.01t/s-17-(a13)(b13