26.2.6二次函数最值问题

抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+ky=ax2+bx+ca＞0向上(0,0)y轴a＜0向下(0,k)(h,0)a＞0向上a＞0向上a＞0向上a＜0向下a＜0向下a＜0向下直线x=h直线x=hy轴(h,k)复习回顾：a＜0向下2bxa直线24(,)24bacbaaa＞0向上所以当x＝2时，。解法一（配方法）：2281yxx2227x7y最小值＝－2241xx224441xx1、用两种方法求，x取何值时函数的极值。2281yxx解法二（公式法）：2282,2224218474  42     7baacbayx最小值当＝2时，－＝－总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．2、已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。211322yxx解法一:21169922xx21913222x21352x∵∴当x＞－3时，y随x的增大而减小。211322yxx解法二：102a331222ba∴当x＞－3时，y随x的增大而减小。10,2在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？例1已知二次函数y=2x²-4x-3，若-1≤X≤5，求y的最大值和最小值。解:y=2x²-4x-3=2（x²-2x+1）-5=2（x-1）²-5顶点坐标为（1，-5）而-1≤x≤5∴y最小=-5∴y最大=27思考：若2≤X≤5y最小=_____,y最大=_____.(1,-5)(-1,3)(5,27)-32721)3(32)2(20)1(32.22xxxxxy的最大值和最小值数分别在下列范围内求函例)4,1(12322：ab：xxx：y顶点坐标为对称轴为解xyox=1(1,-4)∴（1）y最小=-4（2）y最小=-3y最大=0（3）y最小=-4y最大=0(2)当x＝时，满足（0x10），∴S最大值＝＝50（平方米）∴S＝x（20－2x）＝－2x2＋20x（0x10）∵AB为x米、篱笆长为20米∴花圃长为（20－2x）米(1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少？例3、如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面积为y平方米。ABCD解：52ababac442例4、用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？图26.2.5解：(1)设宽为x米、∴窗框长米.∴S＝（0x2）2)36(xx2)36(x0226,0xx20x2223333(x1)+22216-31=1.5,1.521.xxxxx最大值时，满足0x2,当时，s这时答：所做矩形窗框的宽为米、长为1.5米时，它的透光面积最大，最大面积是1.5m例5.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？（提示：比较两种调查方案的利润）解：调查方案一：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y=(60-40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x2-10x)+6000=-10［(x-5)2-25］+6000=-10(x-5)2+6250∵x=5时，满足(0≤x≤30)，∴当x=5时，y最大值=6250.定价:60+5=65（元）(0≤x≤30)调查方案二：设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20）∵x=2.5满足（0≤x≤20），∴定价为60-2.5=57.5元时，利润最大,最大值为6125元.答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.怎样确定x的取值范围例6、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000=-20(x-5)2+4500∵x=5时，满足∴0﹤x﹤20∴当x=5时，y最大=4500答：售价提高5元时，半月内获最大利润4500元.∵x﹥0400-20x﹥0｛∴0﹤x﹤20例7.某商场购进一批单价为16元的日用品,经实验发现若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假设每月销售件数为y(件)是价格x(元/件)的一次函数.(1)试求y与x之间的函数关系式.(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问:销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?解:(1)设y=kx+b把x=20时,y=360;x=25时,y=210代入上式得：360=20k+b210=25k+b∴k=-30,b=960∴y=-30x+960（2）设每月利润为P元,则P=y(x-16)=(-30x+960)(x-16)=-30x²+1440x-15360答：销售价格为每件24元时，每月利润最大，最大利润为1920元。(X≥16,且x为整数)21440    4---24(16,)2(p=19230)04-xXx最大值（30）（15360）1440（元）（当（元）时,满足且为整，0）数3(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?何时面积最大例8、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.MN40m30mABCD┐223040303304(2)yABAD3x(30)4320(x20)3004,20=300030.DCMDANMAxADADxxxxmyxm最大解：（1）四边形ABCD为矩形满足DCAB即：当时，(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?何时面积最大例9：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.ABCD┐MNP40m30mHG222224030501122114030=50,2422,2412242450251212(2)(24)242525PMNPMNMNPNPMSPNPMMNPHPHPHABCDADMNPADPNMPGADABxABxPHNMyADABxxxx解：（1）作PHMN于H,交AD于G在RT中，又即：由矩形得，=,即：，，（0x222124()024425y=300().1244()22425()1222()255acbxaba最大值50）当米，满足（0x5米0），例10.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?xxy:1.4715.yxx解由题意知：由.4715,xxy得xx21527224715222.222xxxxxxyS窗户面积2215151.07(m),2143.142742254.02(m).456bxaacbya最大值当时,满足0x.562251415272x例10、如图在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米(3)∵墙的可用长度为8米(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）32ababac442∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0x6）∴024－4x≤84≤x6，而x=3不满足4≤x6，∴当x＝4m时，S最大值＝32平方米练习1.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动.回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。QPCBAD221212222281-2680(t2)(t4)0t2,406,,248172(6t)3062t2t672(t3)+633=63.PBQPBQPBQcmtttttcmxttxscm最小解：（1）设运动x秒时，s即：（6t）2t=8t均合题意，答：运动到秒或秒时，s（2）s=612-s当秒时，满足（），2、.如图，在ΔABC中，AB=8cmBC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发。(1)几秒后,PQ//AC?(2)几秒后ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？ＰＱCBA228-2,862.42.4..1(04)04)10,(82t),2(t2)4=4.PBQttPQACBPBQttABBCttPQACsstcm最大解：设t秒时则：即：答：时，（2）设：t秒时s的面积最大则：当t=2秒时，t=2满足(=s且a3.在矩形荒地ABCD中,AB=10,BC=6,现在四边点分别选取了E、F、G、H四点,且AE=AH=CF=CG=X,建一个花园,如何设计可使花园,面积最大?ABCDEFGH222116102(10x)(6x)2222162(x4)0630xx4,624xxxxsx解：由题意知：，当时，花园（）满足（）面积最大。4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).(1)求A、B两点的坐标；(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？023426(223)B(623)OHCKOKA解：（1）作AHOC于H,BKOC于K,CMAB于M.OA=OC=AB=BC=4，AOC=60，，AH=CM=BK=2，，，，222(2)131.0t2