复变函数教案-第三章-复变函数的积分

桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章14复变函数的积分学时安排：6学时教学要求：使学生掌握复变函数积分定义，会灵活运用柯西积分公式计算相关积分，以及会利用解析函数性质求函数的共轭调和函数。教学内容：复变函数积分定义，积分计算公式，柯西积分公式，高阶导数，以及解析函数和调和函数关系教学重点：柯西积分公式以及解析函数和调和函数的关系教学难点：柯西积分公式教学手段：课堂讲授教学过程：第三章复变函数的积分§1、复变函数积分的概念1，有向曲线：设C为平面上给定的一条光滑（或者按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或者正向），那么我们把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。2，积分：设函数)(zf定义在区域D内，C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线。把曲线C任意分成n个弧段，设分点为BzzzzzzAnkk,,,,,,,1210，在每个弧段kkzz1),,2,1(nk上任意取一点k，并作和式nkkknkkkknzfzzfS111)())((这里1kkkzzz。记kkkzzs1的长度，}{max1knks。当n无限增加，且趋于零时，如果不论对C的分法及k的取法如何，nS有唯一极限，那么称这极限值为函数)(zf沿曲线C的积分。记作knkkCnzfdzzf1)(lim)(。桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章15注意：1）如果曲线C为闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记作Cdzzf)(。2）当曲线C是x轴上的区间bxa，而)()(xuzf时，这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。3，积分存在的条件及其计算法：1）积分存在的条件：(a)当)(zf是连续函数而C是光滑曲线时，积分Cdzzf)(是一定存在的；(b)Cdzzf)(可以通过两个实变函数的线积分来计算。分析：设光滑曲线C由参数方程：ttiytxtzz),()()(给出，正方向为参数增加的方向，参数、对应于起点A及终点B，且,0)('tzt。如果),(),()(yxivyxuzf在D内处处连续，那么),(yxu及),(yxv均为D内的连续函数，设kkki，由于kkkkkkkkkkkkkyixyyixxiyxiyxzzz)()()(11111所以)()],(),([)(11kknkkkkknkkkyixivuzf]),(),([1knkkkkkkyvxu]),(),([1knkkkkkkxvyui由于vu,都是连续函数，根据线积分的存在定理，我们知道：当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时，不论对C的分法如何，点),(kk的取法如何，上式右端的两个和式的极限都是存在的，因此CCCudyvdxivdyudxdzzf)(注意：))(()(dyidxivudzzfCCCCudyvdxivdyudx2）积分的计算：计算公式：设光滑曲线C由参数方程：ttiytxtzz),()()(给出，正方向为参数增加的方向，参数、对应于起点A及终点B，且桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章16,0)('tzt。则dttztzfdzzfC)()]([)('注意：(a)如果曲线C是由nCCC,,,21等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么nCCCCdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21(b)对极坐标形式，一样可以推广。应用举例：例1，计算Czdz，其中C为从原点到点3+4i的直线段。例2，计算Cnzzdz10)(，其中C为以0z为中心，r为半径的正向圆周，n为正整数。例3，计算Cdzz，其中C为（1）沿从原点到点0z=1+i的直线段10,)1(:1ttizC；（练习：）（2）沿从原点到点1z=1的直线段10,:2ttzC，与从1z到0z的直线段10,1:3titzC所接成的折线。4，积分的性质1）Cdzzf)(=Cdzzf)(；2）Cdzzkf)(=Cdzzfk)(；（k为常数）3）Cdzzgzf)]()([=Cdzzf)(Cdzzg)(；4）设曲线C的长度为L，函数)(zf在C上满足Mzf)(，那么Cdzzf)(CMLdszf)(。例4，设C为从原点到点0z=3+4i的直线段，试求积分Cdziz1绝对值的一个上界。§2、Cauchy-Goursat基本定理1，假设),(),()(yxivyxuzf在区域B内处处解析，且)('zf在区域B内连续。桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章17由于yyxxiuvivuzf)('，所以),(yxu及),(yxv以及它们的偏导数均为B内的连续函数，且yxyxuvvu,又因为CCCudyvdxivdyudxdzzf)(其中C为B内任何一条简单闭曲线，从格林公式与CAUCHY-RIEMANN方程（路线C为正向）得DyxCdxdyuvvdyudx0)(CudyvdxDyxdxdyvu0)(其中D是C围成的区域，所以0)(Cdzzf2，Cauchy-Goursat基本定理（CAUCHY积分定理）假设),(),()(yxivyxuzf在单连通域B内处处解析，那么函数)(zf沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零：0)(Cdzzf注意：（1）定理中的C可以不是简单曲线。（2）如果曲线C是区域B的边界，函数)(zf在B内与C上解析，0)(Cdzzf仍然成立。（3）如果曲线C是区域B的边界，函数)(zf在B内解析，在闭区域B上连续，0)(Cdzzf仍然成立。§3、基本定理的推广---------复合闭路定理1，假设1,CC为D内任意两条（正方向为逆时针方向）简单闭曲线，1C在C的内部，而且以1,CC为边界的区域1D全含于D，那么我们有Cdzzf)(1)(Cdzzf。如果我们把如上两条简单闭曲线1,CC看成一个复合闭路，那么0)(dzzf。从上面的讨论，我们得到：桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章18闭路变形原理：在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数)(zf不解析的点。2，复合闭路定理：设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，nCCCC,,,,321为C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以nCCCC,,,,321为边界的区域全含于D。如果)(zf在D内解析，那么1）Cdzzf)(kCnkdzzf)(1。其中kCC,取正方向；2）0)(dzzf。其中为由C及nCCCC,,,,321所组成的复合闭路（方向为C按逆时针进行，nCCCC,,,,321按顺时针方向进行）。应用举例：例计算dzzzz212的值，为包含圆周1z在内的任何一条正向简单闭曲线。§4、原函数与不定积分1，定理一：如果函数)(zf在单连通域B内处处解析，那么积分Cdzzf)(与连结起点及终点的路线C无关。（根据：Cauchy-Goursat基本定理）2，定理二：如果函数)(zf在单连通域B内处处解析，那么函数zzdfzF0)()(必为B内的一个解析函数，并且)()('zfzF。这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似。3，原函数定义：如果函数)(z在B内的导数等于)(zf，即)()('zfz，那么称)(z为)(zf在区域B内的原函数。注意：)(zf的任何两个原函数相差一个常数。利用这一性质，可以推导跟牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数的积分计算公式。4，定理三：如果函数)(zf在单连通域B内处处解析，)(zF为)(zf的一个原函数，那么)()()(00zFzFdzzfzz这里zz,0为区域B内的两点。应用举例：桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章19例1求积分izdzz0cos的值。例2试沿区域0)Re(,0)Im(zz内的圆弧1z，计算积分idzzz11)1ln(的值。§5、柯西积分公式1，定理（柯西积分公式）：如果)(zf在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，0z为C内部的任一点，那么dzzzzfizfC00)(21)(2，平均值定理：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。（如果C是圆周izzRe0，那么dzzzzfizfC00)(21)(变为dzfizfi2000)Re(21)(）3，应用举例：例求下列积分（沿圆周正向）的值1）dzzziz4sin212）dzzzz4)3211(§6、解析函数的高阶导数1，定理解析函数)(zf的导数仍为解析函数，它的n阶导数为：),2,1(,)()(2!)(100)(ndzzzzfinzfCnn其中C为在函数)(zf的解析区域D内围绕0z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D。注意：高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导数来求积分。2，应用举例：例1，求下列积分的值，其中C为正向圆周：1rz。桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章201）dzzzC5)1(cos2）dzzeCz22)1(例2，设函数)(zf在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线C都有0)(Cdzzf，证明)(zf在B内解析（Morera定理）§7、解析函数与调和函数的关系1，定义：如果二元实变函数),(yx在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程：02222yx，那么称函数),(yx为区域D内的调和函数。调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要的应用。2，定理：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数。3，共轭调和函数：设),(yxu为区域D内给定的调和函数，我们把使ivu在D内构成解析函数的调和函数),(yxv称为),(yxu的共轭调和函数。（换一种说法：在D内满足C.-R.方程的两个调和函数中，),(yxv称为),(yxu的共轭调和函数），或者说，区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。4，应用举例：例1证明yxyyxu233),(为调和函数，并求其共轭调和函数),(yxv和由它们构成的解析函数。练习：已知一调和函数yxyxyyevx)sincos(，求一解析函数ivuzf)(，使0)0(f。教学小结：1，复变函数的积分是定积分在复数域中的自然推广，两者的定义在形式上是相似的，只是把定积分的被积函数从)(xf换成)(zf，积分区间],[ba换成一条起点为A终点为B的光滑曲线C。2，要掌握柯西积分定理相关的几个定理。3，会运用柯西积分公式、高阶导数公式等知识计算沿封闭曲线的积分。4，应掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法。桂林电子科技大学《复变函数》教案《复变函数》第三章21作业布置：第三章习题（P.99）2；5（1）；7（5）；8（5）；9（5）；30（1）；31预习：第四章