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第二十二章二次函数本章知识梳理考纲要求1.通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理考点1二次函数的定义、图像和性质一、二次函数的定义1.下列函数中，y是关于x的二次函数的是（）A.y=x3+2x2+3B.y=C.y=x2+xD.y=mx2+x+12.若函数y=（m-1）x2+3x+1是二次函数，则有（）A.m≠0B.m≠1C.x≠0D.x≠1BC二、二次函数的图象3.二次函数y=-x2-2x+3的图象大致是（）考点1二次函数的定义、图像和性质A4.函数y=ax2（a≠0）和y=-ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（）考点1二次函数的定义、图像和性质D三、二次函数的性质5.抛物线y=x2-4x-3的顶点坐标为（）A.（2，-7）B.（2，7）C.（-2，-7）D.（-2，7）6.下列关于抛物线y=-x2+2的说法正确的是（）A.抛物线开口向上B.顶点坐标为（-1，2）C.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大D.抛物线与x轴有两个交点考点1二次函数的定义、图像和性质DA7.当-4≤x≤2时，函数y=-（x+3）2+2的取值范围为（）A.-23≤y≤1B.-23≤y≤2C.-7≤y≤1D.-34≤y≤2考点1二次函数的定义、图像和性质B8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图M22-2所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；⑤a-b+c＜0，其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个考点1二次函数的定义、图像和性质A9.对于抛物线y=（x+1）2+3有以下结论：①抛物线开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（-1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小.其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个考点1二次函数的定义、图像和性质A10.如图M22-3，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________.考点1二次函数的定义、图像和性质-2考点2用待定系数法求二次函数的解析式一、一般式1.抛物线y=ax2+bx+c经过（0，5），（2，2），（-8，-3）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，5），（2，2），（-8，-3）三点，∴c=5,4a+2b+c=2,64a－8b+c=－3.解得a=,b=－1,c=5.∴y=x2-x+5=（x+2）2+6.∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）.二、顶点式2.抛物线的顶点坐标为（1，3），且过点（2，1），求抛物线对应的二次函数表达式.考点2用待定系数法求二次函数的解析式解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把（2，1）代入,得a·（2-1）2+3=1.解得a=-2.所以抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+3.三、交点式3.已知二次函数图象经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），求此二次函数的解析式.考点2用待定系数法求二次函数的解析式解：设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3）代入,得a·3·（-1）=-3.解得a=1.所以抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3.四、综合4.若抛物线y=-x2+bx+c经过点A（2，0）,B（0，2）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图M22-4，点P是抛物线上一动点，连接BP，OP，若△BOP是以BO为底边的等腰三角形，求点P的坐标.考点2用待定系数法求二次函数的解析式考点2用待定系数法求二次函数的解析式解：（1）将点A（2，0），B（0，2）代入y=-x2+bx+c，得－4+2b+c=0,c=2.解得b=1,c=2.∴这条抛物线的解析式为y=-x2+x+2.（2）∵△BOP是以BO为底边的等腰三角形，且OB=2，∴点P的纵坐标为1.当y=1时，-x2+x+2=1.解得x1=，x2=∴点P的坐标为或5.如图M22-5，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由.考点2用待定系数法求二次函数的解析式解：（1）∵点A为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（-1，0）.又点B的横坐标为2，代入y=x+1，得y=3，∴B（2，3）.∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线的解析式为y=ax2+c.把A,B两点坐标代入,得a+c=0,4a+c=3.解得a=1,c=－1.∴抛物线的解析式为y=x2-1.考点2用待定系数法求二次函数的解析式（2）△ABM为直角三角形.理由如下：由（1）知抛物线的解析式为y=x2-1，可得点M的坐标为（0，-1），∴AM2=12+12=2，AB2=（2+1）2+32=18，BM2=22+（3+1）2=20.∴AM2+AB2=2+18=20=BM2.∴△ABM为直角三角形.考点2用待定系数法求二次函数的解析式考点3二次函数与一元二次方程一、抛物线与坐标轴的交点1.若二次函数的解析式为y=2x2-4x+3，则函数图象与x轴交点的情况是（）A.没有交点B.有一个交点C.有两个交点D.以上都不对A考点3二次函数与一元二次方程2.已知二次函数y=x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的两实数根是（）A.x1=1，x2=－1B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=3B考点3二次函数与一元二次方程3.如图M22-6，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的取值范围是（）A.x＞4或x＜-2B.-2＜x＜4C.-2＜x＜3D.0＜x＜3B考点3二次函数与一元二次方程4.已知抛物线y=a（x-1）（x-2）经过点（-1，3），利用其函数图象判断函数y的值大于0时，x的取值范围为（）A.x＞2或x＜1B.1＜x＜2C.x＞-1或x＜-2D.-2＜x＜-1A考点3二次函数与一元二次方程5.（2017镇江）若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=________.6.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图M22-7所示，则关于x的不等式ax2+bx+c+2＞0的解集为___________.4-4＜x＜2考点3二次函数与一元二次方程7.已知，如图M22-8，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积为6，求点M的坐标.考点3二次函数与一元二次方程解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-3，0），D（-2，-3），∴9－3b+c=0,4－2b+c=－3.解得b=2,c=－3.∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3.（2）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，D（-2，-3），C（0，-3），∴C,D关于抛物线的对称轴直线x=-1对称，如答图M22-1所示，连接AC，与对称轴的交点就是点P,此时PA+PD=PA+PC=AC=考点3二次函数与一元二次方程（3）设点M的坐标为（m，m2+2m-3）.令y=0，即x2+2x-3=0.解得x=-3或x=1.∴点B的坐标为（1，0）.∴AB=4.∵S△MAB=6，∴=6.∴m2+2m=0或m2+2m=6.∴m=0或-2或-1+或-1-.∴点P的坐标为（0，-3）或（-2，-3）或（-1+，3）或（-1-，3）.考点3二次函数与一元二次方程二、图象法求一元二次方程的近似根8.（2017兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（）A.1B.1.1C.1.2D.1.3C考点4实际问题与二次函数一、图形面积问题1.如图M22-9，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动.设△PQD的面积为S，点移动的时间为x（x＞0）s.考点4实际问题与二次函数（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）经过多少时间，△PQD的面积最小？解：（1）根据题意,得AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，CQ=12-2x，∴S△PQD=S矩形ABCD-S△APD-S△PBQ-S△CDQ=12×6-×12x-·2x（6-x）-×6（12-2x）=x2-6x+36.∴S=x2-6x+36（0＜x≤6）.（2）∵S=x2-6x+36=（x-3）2+27，∴当x=3时，S最小,即经过3s时，△PQD的面积最小.二、商品利润问题2.为满足市场需求，某超市在五月初五端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；考点4实际问题与二次函数（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？考点4实际问题与二次函数解：（1）由题意,得y=700-20（x-45）=-20x+1600.（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000，∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000（元），即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P最大，最大利润是8000元.三、实物抛物线问题3.如图M22-10，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A.6mB.12mC.8mD.10m考点4实际问题与二次函数D4.（2017德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，如图M22-11，在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度.考点4实际问题与二次函数考点4实际问题与二次函数解：（1）如答图M22-2所示,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+h，代入（3，0）和（0，2），得4a+h=0,a+h=2.解得a=,h=.∴抛物线的解析式为y=（x-1）2+,即y=x2+x+2（0≤x≤3）.（2）由y=（x-1）2+（0≤x≤3），得当x=1时，y=，即水柱的最大高度为m.