人教版初中数学第二十二章二次函数知识点

第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．22.1.2二次函数2yax的图象和性质1.二次函数基本形式：2yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.例1．若抛物线y=ax2经过P（1，﹣2），则它也经过()A．（2，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）【答案】【解析】试题解析：∵抛物线y=ax2经过点P（1，-2），∴x=-1时的函数值也是-2，即它也经过点（-1，-2）．故选D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．例2．若点(2，-1)在抛物线上，那么，当x=2时，y=_________【答案】-12yaxa的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．【解析】试题分析：先把(2，-1)直接代入即可得到解析式，再把x=2代入即可.由题意得14a，41a，则241xy，当2x时，.1441y考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.2.2yaxc的性质：上加下减.例1．若抛物线y=ax2+c经过点P（l，－2），则它也经过（）A．P1（－1，－2）B．P2（－l，2）C．P3（l，2）D．P4（2，1）【答案】A【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2+c经过点P（l，－2），且对称轴是y轴，所以点P（l，－2）的对称点是（－1，－2），所以P1（－1，－2）在抛物线上，故选：A.考点：抛物线的性质.例2．已知函数y=ax+b经过（1，3），（0，﹣2），则a﹣b=（）A．﹣1B．﹣3C．3D．7【答案】D．【解析】试题分析：∵函数y=ax+b经过（1，3），（0，﹣2），∴，解得．∴a﹣b=5+2=7．故选D．考点：1．直线上点的坐标与方程的关系；2．求代数式的值．例3．两条直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的()2yaxab3b2a5b2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b的值，看看是否矛盾即可．解：A、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论矛盾，故错误；B、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b0，两结论相矛盾，故错误；C、由y1的图象可知，a0，b0；由y2的图象可知，a＜0，b＜0，两结论相矛盾，故错误；D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论相矛盾，故错误．故无正确答案．点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．22.1.3二次函数2yaxhk的图象和性质左加右减.2yaxhk的性质：例1．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（）A．﹣5B．5C．3D．﹣3【答案】D．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．【解析】试题分析：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-1-3=（x-1）2-4．则h=1，k=-4，∴h+k=-3．故选D．考点:二次函数的三种形式．例2．把二次函数y=x2+6x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式，得y=___，它的顶点坐标是___．【答案】（x+3）2-5，（-3，-5）【解析】试题分析：y=2x+6x+4=2(3)5x+-，则顶点坐标为（－3，－5）．考点：二次函数的顶点式．例3．把二次函数配方成y＝a（x－k）2＋h的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴.【答案】y=顶点坐标（3，-），对称轴方程x＝3【解析】试题分析：y=x2﹣3x+4=（x﹣3）2﹣，则顶点坐标（3，﹣），对称轴方程x=3，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（1）平移步骤：方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；（2）保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：（2）平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．43212xxy向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2方法二：（1）cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）（2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）例1．将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为()A．y＝x2－1B．y＝x2＋1C．y＝(x－1)2D．y＝(x＋1)2【答案】A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y＝x2－1.故选A.例2．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是A．y=(x–1)2+2B．y=(x+1)2+2C．y=(x–1)2–2D．y=(x+1)2–2【答案】A．【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=（x﹣1）2+2．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．例3．将二次函数的图象如何平移可得到的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位【答案】C【解析】2243(2)1yxxx，根据二次函数的平移性质得：向左平移2个单位，向下平移一个单位.故选C.例4．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为．【答案】0，y=x2﹣2x．2xy342xxy【解析】∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．2、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．3、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.4、二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba．2.当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．例1．当a0时，方程ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在（）A、x轴上方B、x轴下方C、y轴右侧D、y轴左侧【答案】B【解析】试题分析：∵方程ax2+bx+c=0无实数根，∴b2+4ac0，即函数图形与x轴没有交点又∵a0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在x轴下方故选B．考点：二次函数的性质例2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则a、b、c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0B、a＜0，b＜0，c＜0C、a＜0，b＞0，c＞0D、a＞0，b＜0，c＞0【答案】A【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=-2ba＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．试题解析：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴x=-2ba＜0，∴b＜0，所以A正确．考点：二次函数图象与系数的关系．例3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x轴有两个交点，可得△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；根据抛物线对称轴为x=﹣2ba＜0，与y轴交于负半轴，因此可知ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；根据抛物线对称轴为x=﹣2ba=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；正确的是①④⑤．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系例4．如果二次函数y＝ax2