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1.2.2空间中的平面与空间向量核心素养1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量.(数学运算)2.会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系.(直观想象)3.理解并会用三垂线定理及其逆定理.(逻辑推理)思维脉络激趣诱思知识点拨牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?激趣诱思知识点拨1.平面的法向量如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.微思考一个平面的法向量是否唯一?提示:不唯一,一个平面的法向量有无数多个.激趣诱思知识点拨2.平面的法向量的求法在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:(1)设平面的法向量为n=(x,y,z);(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);(4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组𝑛·𝑎=0,𝑛·𝑏=0;激趣诱思知识点拨微练习点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为()A.(bc,ac,ab)B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac)D.(ab,ac,bc)解析:设法向量为n=(x,y,z),则𝐴𝐵·n=0,𝐴𝐶·n=0,则-𝑎𝑥+𝑏𝑦=0,-𝑎𝑥+𝑐𝑧=0,令x=bc,则n=(bc,ac,ab).答案:A激趣诱思知识点拨3.用空间向量处理平行或垂直关系(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔l⊥α;n⊥v⇔l∥α,或l⊂α.(2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则n1⊥n2⇔α1⊥α2;n1∥n2⇔α1∥α2,或α1与α2重合.名师点析解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行.激趣诱思知识点拨微练习设直线l的一个方向向量d=(6,2,3),平面α的一个法向量n=(-1,3,0),则直线l与平面α的位置关系是()A.垂直B.平行C.直线l在平面α内D.直线l在平面α内或平行答案:D激趣诱思知识点拨微判断(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.()(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.()(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.()答案:(1)√(2)√(3)√激趣诱思知识点拨4.三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.微思考三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?提示:联系:都是一面四线,三种垂直关系.区别:①从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直⇒线与斜线垂直”,而逆定理恰好相反;②从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直⇒异面直线垂直”,而逆定理恰好相反.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测求平面的法向量例1如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.√3探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝑃的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,√3,0),E0,√32,12,B(1,0,0),C(1,√3,0),于是𝐴𝐸=0,√32,12,𝐴𝐶=(1,√3,0).设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则𝑛·𝐴𝐶=0,𝑛·𝐴𝐸=0,即𝑥+√3𝑦=0,√32𝑦+12𝑧=0,所以𝑥=-√3𝑦,𝑧=-√3𝑦,令y=-1,则x=z=√3.所以平面ACE的一个法向量为n=(√3,-1,√3).探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟通过此类例题的解答,在求平面的法向量时要注意:(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量.(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测延伸探究本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.解:如图所示,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,√3,0),所以𝑃𝐶=(1,√3,-1),即直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).因为D(0,√3,0),所以𝑃𝐷=(0,√3,-1).由𝑛·𝑃𝐶=0,𝑛·𝑃𝐷=0,即𝑥+√3𝑦-𝑧=0,√3𝑦-𝑧=0,所以𝑥=0,𝑧=√3𝑦,令y=1,则z=√3.所以平面PCD的一个法向量为(0,1,√3).探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练1已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),试求出平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).∵A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),∴𝐴𝐵=(-2,1,3),𝐵𝐶=(1,-1,0).则有𝑛·𝐴𝐵=0,𝑛·𝐵𝐶=0,即-2𝑥+𝑦+3𝑧=0,𝑥-𝑦=0,解得𝑥=3𝑧,𝑥=𝑦.令z=1,则x=y=3,故平面ABC的一个法向量为n=(3,3,1).探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测利用空间向量证明平行问题例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以𝐹𝐶1=(0,2,1),𝐷𝐴=(2,0,0),𝐴𝐸=(0,2,1).设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1⊥𝐷𝐴,n1⊥𝐴𝐸,即𝑛1·𝐷𝐴=2𝑥1=0,𝑛1·𝐴𝐸=2𝑦1+𝑧1=0,得𝑥1=0,𝑧1=-2𝑦1.令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因为𝐹𝐶1·n1=-2+2=0,所以𝐹𝐶1⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(2)𝐶1𝐵1=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥𝐹𝐶1,n2⊥𝐶1𝐵1,得𝑛2·𝐹𝐶1=2𝑦2+𝑧2=0,𝑛2·𝐶1𝐵1=2𝑥2=0,解得𝑥2=0,𝑧2=-2𝑦2.令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).因为n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟证明线面、面面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如(1)中,FC1⊄平面ADE一定不能漏掉.(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.12探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:存在点E使CE∥平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则𝑃𝐸=(0,y,z-1),𝑃𝐷=(0,2,-1),∵𝑃𝐸∥𝑃𝐷,∴y(-1)-2(z-1)=0,①∵𝐴𝐷=(0,2,0)是平面PAB的法向量,又𝐶𝐸=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB,∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐷,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.∴y=1,代入①得z=12,∴E是PD的中点,∴当点E为PD中点时,CE∥平面PAB.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明线面垂直问题例3如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,√3),A(0,0,√3),B1(1,2,0).所以𝐴𝐵1=(1,2,-√3),𝐵𝐴1=(-1,2,√3),𝐵𝐷=(-2,1,0).因为𝐴𝐵1·𝐵𝐴1=1×(-1)+2×2+(-√3)×√3=0,𝐴𝐵1·𝐵𝐷=1×(-2)+2×1+(-√3)×0=0,所以𝐴𝐵1⊥𝐵𝐴1,𝐴𝐵1⊥𝐵𝐷,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟1.用坐标法证明线面垂直的常用方法:方法一:基向量法(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.方法二:坐标法(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题,如果只用基向量法解决涉及的线性运算和数量积运算比较复杂.而建系后只需一切交给坐标即可.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测延伸探究本例中增加条件,E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.即EF⊥EA,EF⊥ED,又EA∩ED=E,EA,ED⊂平面ADE,∴EF⊥平面ADE.证明:建系同例3:点E与点O重合.由E(0,0,0),A(0,0,√3),D(-1,1,0),F(1,1,0),得𝐸𝐹=(1,1,0