8金融工程-连续时间情形-随机分析简介

二叉树定价总结建模标的资产的二叉树价格运行规律Delta对冲、复制计算风险中性概率衍生品在各个节点处的价格套期保值参数Delta欧式、美式和新型期权的价格套期保值策略复制续（1）Δ-对冲方法：时间间隔为Δt在单个时间段上构造无风险组合Φ=DS–V有Vt=(pVut+Δt+qVdt+Δt)e–rΔt=e–rTEQ(Vt+Δt)(,)(,)tttttVSuttVSdttSuSdDDD,rTrTeduepqudud续（2）复制的技术（以单时段-双状态为例）用股票和银行存款构造期权，即V=D1S+D2B得到于是随机分析简介主要内容Wiener过程Itô积分Itô引理欧式期权定价Black-Scholes公式对称随机游走设随机变量{Xj}独立同分布。定义M0=0，且则{Mn}n=0,1,2…是对称随机游走。定义布朗运动1,,()0,()1.1,,jjjjjifHeadXEXVarXifTail1,1,2,....nnjjMXn[][]1limlim(0,)tntntnntWMMtnnt服从续Wiener过程Φ(,2)均值为，方差为2的正态分布称随机过程Wt为维纳过程或Brown运动，如果1.轨道连续：W0=0,Wt是t的连续函数；2.增量正态分布：对固定的t，Wt~Φ(0,t)，对ts有Wt-Ws~Φ(0,t-s);3.增量独立：若0t1t2…tn,则Wtn-Wtn-1,Wtn-1–Wtn-2,…,Wt2-Wt1与Wt1相互独立。性质对布朗运动W，分划0t1…T和st，有(1)(2)布朗运动是个鞅过程，即22()(())()()()().ststssstsssEWWE111()0,().iiiittttiiEWWVarWWtt(|),.tssEWWstFCov(Ws,Wt)=?相关系数=？注1对称随机游走过程的极限是布朗运动。原生资产的二叉树模型，在风险中性世界中，其连续模型是几何布朗运动，即或此外，是鞅过程。201lnln()2ttSSrtW21()20trtWtSSe212ttWe续1令St*=e-rtSt，ρ=e-rΔt，则这时续2进而不计Δt的高阶小量，有X()续3于是-+o(Δt)忽略Δt的高阶小量，有X()考虑[0,T]中的剖分，使得t=tk，关于k求和取极限有-lnS0定义：二次变差设f(t)是[0,T]上的函数，是[0,T]上的分划0=t0t1t2…tn=T，则f的二次变差为显然，连续可微函数的二次变差为零，即1210()(()())njjjQfftft||||0[,]()lim()0.ffTQf||||0[,]()lim().ffTQf二次变差定理Brown运动刻画的粒子运动的每一条轨线都是连续的，但它也是处处不可微的曲线。在[0,T]上定义剖分：0=t0t1t2…tN=T，Brown运动的二次变差QП为11202||||02||||0||||0()lim(lim()0,lim()0kkNttkQWWQTLEQTEQT在的意义下)，即。注2令dt→0，记dWt是的极限。由二次变差定理，在形式上有E(dWt)2=dt，且。因此，忽略dt的高阶小量，近似地有(dWt)2与dt同阶，即，(dWt)2~dt。Levy定理：若一初值为0的鞅，有连续路径且对任意时刻t的二次变差均为t，则该鞅过程是布朗运动。1=kkkttDWW22()=2()tVardWdt例1某公司投资于一种风险资产，该资产价格遵循Wt,0tT。f(t)是投资人选择的交易策略，f(t)0表示买进份额，f(t)0表示卖出份额。那么在此交易策略下，该投资人在T时刻的总收益为多少？假设交易时点为Δ：0=t0t1…tN=T。在tk进行交易，在tk+1处的收益(损失)为f(tk)(Wtk+1–Wtk)续于是在[0,T]上的总收益为由于投资人决定自己的投资策略时，对风险资产未来价格的走向没有任何信息，对于这样的投资策略f(t)，称为是非预测的(non-anticipating)。上式中的D是指对时间[0,T]的某个分划(剖分)。110()()[]kkNkttkIfftWWDItô积分若f(t)是非预测的随机过程，它使得存在，并且是与剖分无关的唯一极限，则称该极限是f(t)的Itô积分，记为11000101lim()lim()(),max()kkNkttkkkkNIfftWWttDDDD其中11000()lim()()kkNTtkttkftdWftWWD计算利用伊藤积分的定义，计算形式上，显然，这与普通Riemann积分结果是不同的。在积分定义中，如果取f(t)的右端点来计算，那么结果是否和伊藤积分的计算一致？（backward积分）20122TttTTWdWW22tttdWdtWdW续由二次变差结果知，形式上可看作满足下式的随机过程Xt可近似写成a(x,t)称为漂移率，b2(x,t)称为方差率,~(0,1)tdWdt,~(0,1)tWtDD(,)(,)ttttdXaXtdtbXtdW(,)(,)(,)(,)ttttttXaXttbXtWaXttbXttDDDDD一般化Wiener过程，即，Itô过程Itô公式设Vt=V(St,t)，V(S,t)是二元可微函数。若随机过程St满足下面的随机微分方程则(,)(,)ttttdSaStdtbStdW22t212tVVVVdVabdtbdWtSSS相对于随机过程Vt的漂移率相对于随机过程Vt的方差项证明由Taylor展式有，其中整理有注4事实上，伊藤引理是在积分意义下成立的，即对任意的T0有2202001(,)(,0)+()2TTTtVVVVSTVSabdttSSVbdWS伊藤清(ItÔKiyoshi)伊藤清:1915年9月7日-2008年11月10日少有的在世的时候看到自己的理论研究被应用到现实生活中的数学家之一1987年沃尔夫奖,1998年京都奖,2006年第一个高斯奖。因他而名还有伊藤过程、伊藤公式和伊藤微积分。股票价格运行规律（1）1900年LouisBachelier在他的博士论文中，首次提出股票价格St遵循布朗运动dSt=σdWt其中σ是波动率，Wt是标准Brown运动，E(Wt)=0，Var(Wt)=t。缺点：股价可能出现负值！股票价格运行规律（2）1961年C.Sprenkle和1964年P.Samuelson修正Bachelier的股价模型，以股票价格的回报dSt/St代替dSt，即dSt=Stdt+StdWt即称股价St遵循几何Brown运动。漂移项是股票的预期收益率，方差项称为股票的波动率。tttdWdtSdS几何布朗运动其中，预期回报率和波动率是常数。上面的随机微分方程近似可看成,(0,1)ttSttSDDD服从ttttdSSdtSdW应用设则,()lnttttdSSdtSdWfSS2222()ln1111212ttttttttttdfSdSSSdtSdWSSSdtdW21ln()2SttDDD221ln~((),)2tdSdtdt续注意到若t为当前时刻，则lnlnlnlnTTttSSSSSD221ln~(()(),()).2TtSTtTtS221ln()~(ln()()(),()).2STStTtTt例2考虑一个股价初值为40元，预期收益率为16%，波动率为20%，求6个月后的股价。由于故222111ln()~(ln40(16%20%)(),20%())(3.759,0.141)222STprob(ln(,))prob(ln(3.7590.141,3.7590.141))68.3%;prob(ln(2,2))95.4%;prob(ln(3,3))99.6%;TTTTSSSS3.4774.04195.4%prob(3.477ln4.041)prob()prob(32.3656.88)TTTSeSeS注5对几何布朗运动{St},有即，在伊藤积分的意义下有其中和是常数。21ln2ttdSdtdW2122000()01lnln()2ttttttWtSSdtdWSSe练习1利用伊藤公式求求伊藤微分02001.?2.?3.?TttTttTtWdWWdWtdW21.(),(())?2.(,)2,((,))?txtfxxdfWfxttedfWt设则设则公式乘积的伊藤微分商的伊藤微分112212,,()ttttttttttdXadtbdWdYadtbdWdXYXdYYdXbbdt已知则1122221222,,()ttttttttttttttdXadtbdWdYadtbdWXYdXXdYbXbbYddtYYY已知则练习2设，p0是常数，计算求解Vasicek方程drt=(α–βrt)dt+σdWt其中α，β，σ均为常数。212()0ttWtSSe()ptdS续由于故于是进而欧式期权定价基本假设标的资产价格{St}遵循几何布朗运动无风险利率r，，是常数标的资产不支付红利无税收、无交易费用市场不存在套利机会，允许卖空证券高度可分且交易连续ttttdSSdtSdW注22()200220()()(1)ttttttWttttttdSSdtSdWSSeESSeVarSSee续020221=ln=()2~,2xTTTTSSeSWxTSTxTBlack-Scholes定价思想期权的价格完全依赖于标的股票的价格，故期权和股票的价格依赖于价格的不确定性由于市场无套利，利用标的股票和期权构造投资组合来消除资产价格的不确定性构造的组合在瞬间是无风险的，其回报率是无风险利率利用Itô引理，得到期权价格（作为股价和时间的二元函数）所满足的Black-Scholes方程SVDΔ-对冲构造投资组合Π选取Δ，使得该组合在[t,t+dt)内无风险。在[t,t+dt)内，组合的收益为（1）ttdtttttdrdtdVdSDBlack-Scholes方程由Itô引理，代入(1)中，取，则V(S,t)满足（2）22221(2)ttVVVVdVSSdtSdWtSSS222212VVVrSSrVtSSBlack-Scholes方程VSD续股票价格遵循几何布朗运动，任何基于该股票的衍生品价格必满足Black-Scholes方程。(2)有很多解，但衍生品的价格却只能有一个。不同衍生品的价格是由不同的定解条件决定的。Call和Put的定解条件分别为V(S,T)=(S–K)+，V(S,T)=(K–S)+远期合约的定解条件为V(S,T)=S–K，远期合约的价格为V=S–Ke–r(T–t)定价问题欧式看涨期权的定价问题欧式看跌期权的定价问题222210,0,02(,)(),0.VVVSrSrVStTtSSV