定积分及其应用.ppt

第五章定积分及其应用本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理学和社会科学。会有这样一天，经济的争执能够用数学以一种没有争吵的方式来解决，现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。伽德纳Archimedes第一节定积分的概念与性质abxyo?A曲边梯形:由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、)(xfy一、定积分问题的提出bx所围成的平面图形.abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）平面图形的面积。所围直线例如，求由曲线1,0,0,2xxyxyAera=?公元前二百多年前的阿基米德就已会用此法求出许多不规则图形的面积阿基米德观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放曲边梯形如图所示：,:1210bxxxxxaTnnabxyoix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba，长度为个小区间分成把区间1[,],1,2,,.iiiixxn()iifx为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiiA)(xfy（1）分割（2）近似代替（3）求和11()nniiiiiAfx（4）取极限,当分割无限加细时，即0},,max{21nxxxTiniiTxf)(lim10曲边梯形面积为A求曲边梯形面积所用的方法步骤：A分割、近似代替、求和、取极限.实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．.,)(SbatvvM的运动路程到时刻求该物体从时刻作直线运动以变速设一物体（1）分割btttttaTnn1210:,1iiitttiiitvs)(（3）求和iinitvS)(1（4）取极限，令},,,max{21ntttTiniiTtvS)(lim10.,,2,1,],[1nittiii（2）近似代替设函数)(xf在],[ba上有界，记12||T||max{,,,}nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分的定义定义怎样的分法，baIdxxf)(||||01lim()niiTifx被积函数被积表达式积分变量也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当||||0T时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限黎曼积分积分和或黎曼和.],[积分区间称为ba不存在，若iniiTxf)(lim10在则称)(xf.],[上不可积ba注意:()bafdxx即()bafdtt().bafduu.],[.1o无关所用的积分变量的记号有关，而与和积分区间它只与被积函数，其结果是一个数，定积分是积分和的极限baf.;,0.2o但反之不然分点个数当nT.],[)(上不可积在则baxf，的某一个积分和的极限在若],[.3obaf不存在，极限值都存在但的某两个积分和的极限在或若],[baf不相等o4.()[,]fxab如果在上，可积则某特殊积分和.的极限badxxf)(:[,],abnT若取把等分1,iiibaxxxn,iibaxain取),,2,1(ni,0nTniiiTxf10)(lim1lim().nnibaainbanfbadxxf)(则则当例1利用定义计算定积分.102dxx解取iix，(ni,,2,1)iinixf)(112niiix12niiixx121niinn2311nini3(1)(21,1)6nnnnnT0dxx102iiniTx210lim36)12)(1(limnnnnn.31[0,1](1,,),iTninixn把等分，11iiixxxn，,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1234()bafxdxAAAA定积分的几何意义1A2A3A4A)(xfyab，有时特别，当1)(xf.1)(1ababdxba)(xfyab积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(前前11302220)3()2()1(2dxxdxxRxdxR，计算下列积分利用定积分的几何意义例.2222142R0xyyxo222xRyxyoR当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，则)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在定积分存在定理(可积充分条件)区间],[ba上可积.三、定积分的性质对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．证明badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1babadxxfkdxxkf)()((0k为常数).证明badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,,abc例若,abc()cafxdxcbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证明,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix1()0,niiifx12||||max{,,,}nTxxx||||01lim()niiTifx().0bafxdx性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，性质5的推论：证明),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba()()0,bbaagxdxfxdx即于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.()ab如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）()ab（定积分不等式性质）（2）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba证明()()(,)fxfxfx,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的性质5的推论：(绝对值不等式性质)()ab例3比较积分值dxex20和dxx20的大小.解令,)(xexfx[2,0]x()0,fx,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx设M及m分别是函数证明,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则()()()bambafxdxMba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6例4估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf[0,],x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例5估计积分dxxx24sin的值.解,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2cos()tanxxxx]2,4[x,0)(xf在]2,4[上单调下降,0,tan.2xxx22()4,Mf2(),2mf,442ab,422sin4224dxxx241sin2.22xdxx即如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证明1()bafxdxmbMa)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点，使()(=)1(),bafxxbfaCddxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。例6设)(xf可导，且1)(limxfx，求23sinlim()xxxtfttdt.解由积分中值定理知有],2,[xx使dttfttxx2)(3sin3sin()(2),fxx23limsin()xxxtftdtt3sin()2limf(2)3limf.6小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．.4o.],[)(],[)(上必有界在上可积，则在若baxfbaxf上无界，在设],[)(baxf)(用反证法证],[ba则对.)(,上无界在使必存在某个小区间的任一分割kkxxfxT，上任取的各小区间对于iixki,)(Gxfkiii设kxxfM在由于)(,0,上无界,)(kkkkxGMfx使总可选取故1()()()niikkiiiikfxfxfx.MGxxGMkk,)(1无界即iniixf.],[)(],[)(不可积在上无界，则在若即baxfbaxf不存在极限，故iniiTxf)(lim10],[)(