高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性

高一数学必修1函数的单调性和奇偶性【学习导航】学习要求：1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x0时，f(x)0,f(1)=－32.(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得：f(－x)=－f(x)，在R上任取x1x2，则x2－x10，所以f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1).因为x1x2，所以x2－x10。又因为x0时f(x)0，所以f(x2－x1)0，即f(x2)f(x1).由定义可知f(x)在R上是减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.所以f(－3)最大，f(3)最小。所以f(－3)=－f(3)=2即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。二、复合函数单调性例2、求函数y=322xx的单调区间，并对其中一种情况证明。思维分析：要求出y=322xx的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设u=x2－2x－3，则y=u.因为u≥0，所以x2－2x－3≥0.所以x≥3或x≤－1.因为y=u在u≥0时是增函数，又当x≥3时，u是增函数，所以当x≥3时，y是x的增函数。又当x≤－1时，u是减函数，所以当x≤－1时，y是x的减函数。所以y=322xx的单调递增区间是[3,+∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是()A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0.答案：C四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)f(m)成立，求m的取值范围。思维分析：要求m的取值范围，就要列关于m的不等式，由f(1－m)f(m)且f(x)是偶函数知1－m与m的符号不能确定，由偶函数的性质可按1－m与m同号；1－m与m异号两种情况，列四个不等式组，计算非常繁琐，但考虑到偶函数f(x)=f(|x|)，可将问题转化为只考虑x0时的情况，从而使问题简单化。解：因为函数f(x)在[－2,2]上是偶函数，则由f(1－m)f(m)可得f(|1－m|)f(|m|).又x≥0时，f(x)是单调减函数，所以|||1|,2||,2|1|mmmm。解之得：－1≤m21.追踪训练1、函数f(x)=xx12的值域是()A.[21，+∞)B.(－∞，21]C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案：A2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是()A.y=1+x1B.y=－(x+1)2C.y=xD.y=x3答案：D3、设f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)，求a的取值范围。答案：0a34、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x∈R且x≠±1}，若f(x)+g(x)=11x，则f(x)=________,g(x)=__________答案：f(x)=112x，g(x)=12xx.5、函数f(x)=21xbax是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(21)=52.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)+f(t)0；答案：(1)f(x)=21xx(2)证明略(3)0t21富不贵只能是土豪，你可以一夜暴富，但是贵气却需要三代以上的培养。孔子说“富而不骄，莫若富而好礼。”如今我们不缺土豪，但是我们缺少贵族。高贵是大庇天下寒士俱欢颜的豪气与悲悯之怀，高贵是位卑未敢忘忧国的壮志与担当之志高贵是先天下之忧而忧的责任之心。精神的财富和高贵的内心最能养成性格的高贵，以贵为美，在不知不觉中营造出和气的氛围；以贵为高，在潜移默化中提升我们的素质。以贵为尊，在创造了大量物质财富的同时，精神也提升一个境界。一个心灵高贵的人举手投足间都会透露出优雅的品质，一个道德高贵的社会大街小巷都会留露出和谐的温馨，一个气节高贵的民族一定是让人尊崇膜拜的民族。别让富而不贵成为永久的痛。分享一段网上流传着改变内心的风水的方法，让我们的内心高贵起来：喜欢付出，福报就越来越多；喜欢感恩，顺利就越来越多；喜欢助人，贵人就越来越多；喜欢知足，快乐就越来越多；喜欢逃避，失败就越来越多；喜欢分享，朋友就越来越多。喜欢生气，疾病就越来越多；喜欢施财，富贵就越来越多；喜欢享福，痛苦就越来越多；喜欢学习，智慧就越来越多。