三角形全等的证明

三角形全等的判定一、边角边（SAS）二、角边角(ASA)三、角角边(AAS)四、边边边(SSS)五、综合练习制作人：王一豹�互相重合的顶点叫做。互相重合的角叫做。互相重合的边叫做。其中2.叫做全等三角形。1.能够重合的两个图形叫做。全等形4.全等三角形的和相等对应边对应角对应顶点复习提问能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作“”对应边对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上全等于≌�全等三角形的判定（一）SAS（边角边定理)�画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。画法：2.在射线AM上截取AB=3cm3.在射线AN上截取AC=4cm这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC1.画∠MAN=45°4.连接BC则△ABC就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？�再任意画一个△ABC和△DEF，使AB=DE,AC=DF,∠A=∠D,把画好的△ABC和△DEF比较，它们全等吗？ABCDEF△ABC≌△DEF�由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中AB=DE∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF（SAS）ABCDEF两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”�图1已知：如图1，AC=AD，∠CAB=∠DAB求证：△ACB≌△ADBAC=AD（已知）∠CAB=∠DAB（已知）AB=AB（公共边）∴△ACB≌△ADB（SAS）例1证明：在△ACB和△ADB中例题讲解ABCD�图2已知：如图2，AD∥BC，AD=CB求证：△ADC≌△CBA分析：观察图形，结合已知条件，知，AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（∠1，∠2）相等。所以，应设法先证明∠1=∠2，才能使全等条件充足。AD=CB（已知）∠1=∠2（已知）AC=CA（公共边）∴△ADC≌△CBA（SAS）例2证明：∵AD∥BC∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）在△DAC和△BCA中DC1AB2B�B2DC1A动态演示�图3已知：如图3，AD∥BC，AD=CB，AE=CF求证：AFD≌△CEB证明：∵AD∥BC（已知）∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）又AE=CF∴AE+EF=CF+EF（等式性质）即AF=CE在△AFD和△CEB中AD=CB（已知）∠A=∠C（已证）AF=CE（已证）∴△AFD≌△CEB（SAS）若求证∠D=∠B，如何证明？分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE变式训练1．问：ADBEFC�B2DC1A动态演示�练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，BC⊥AC，垂足分别为A、D图4求证：（1）△EAB≌△FDC、（2）DF=AEBECDFA�解题小结：解题思路1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；�ADBEC12图5变式训练2已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2求证：△ABD≌△ACE证明：∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE（等式性质）即∠CAE=∠BAD在△CAE和△BAD中AC=AB（已知）∠CAE=∠BAD（已证）AE=AD∴△ABD≌△ACE（SAS）分析：两组对应夹边已知，缺少对应夹角相等的条件。由∠BAE是两个三角形的公共部分，可得：∠CAE=∠BAD。�变式训练2：拓展（1）求证：∠E=∠D（2）若△ACE绕点A逆时针旋转，使∠1=900时，直线EC，BD的位置关系如何？给出证明。当∠EAD为平角时呢？图5DBACMF已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2ADBEC12�解题小结：解题思路1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等；由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸的外角和等变换。�1．在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识挖出隐含条件。总结概括，知识拓宽2．明确全等三角形“边角边”公理的运用方法。�全等三角形的判定（二）ASA（角边角定理）�创设情景,实例引入一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？�CBEAD�先任意画出一个△ABC，再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，∠A/=∠A，∠B/=∠B。把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？探究1:�已知：任意△ABC，画一个△A/B/C/，使A/B/＝AB，∠A/=∠A，∠B/=∠B：画法：2、在A/B/的同旁画∠DA/B/=∠A，∠EB/A/=∠B，A/D，B/E交于点C/。1、画A/B/＝AB；△A/B/C/就是所要画的三角形。问：通过实验可以发现什么事实？�引入新课：作图：已知：△ABC，(让同学们自己画）再画一个三角形A/B/C/,使B/C/=BC,∠B/=∠B,∠C/=∠C.1、画线段A/B/=AB2、在A/B/的同旁，分别以A/、B/为顶点画∠DA/B/=∠A,∠EB/A/=∠B,A/D、B/E交于点C/,得△A/B/C/�现在同学们把我们所画的两个三角形重合在一起，你发现了什么？完全重合角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“ASA”)讲解新课：�例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D求证：AC=AD证明：∵∠DAB=∠CAB，∠C=∠D∴∠ABD=∠ACD(三角形内角和定理）在△ACB和△ADB中∠DAB=∠CABAB=AB（共用边）∠ABD=∠ACD∴△ACB≌△ADB（ASA)∴AC=AD讲解新课:�例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于O点，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE证明：在△ABE和△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C∴△ABE≌△ACD（ASA)∴AD=AE∵AB=AC∴BD=CE讲解新课�如图，要证明△ACE≌△BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。（1）AC∥BD，CE=DF，(SAS)(2)AC=BD，AC∥BD(ASA)(3)CE=DF，(ASA)(4)∠C=∠D，(ASA)CBAEFDAC=BD∠A=∠B∠C=∠DAC=BD∠A=∠B∠AEC=∠BFD课堂练习�1、如右图：已知，∠ABE=∠CBD,∠BCE=∠DBA,EC=AD求证：AB=BE,BC=DB2、如右图：已知，AD,EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF求证：△AEB≌△DFC变式练习：�全等三角形的判定（三）AAS（角角边定理）�定理的引入:如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？ABCDEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°∠D+∠E+∠F=180°又∵∠A=∠D∠B=∠E∴∠C=∠F∠C=∠FBC=EF∠B=∠E△ABC≌△DEF(ASA)�ABCDEF如图所示，△ABC≌△DEF,那么角角边定理得证。三角形的判定定理三在两个三角形中，如果有二个角和任意一条边相等，那么这两个三角形全等。∠A=∠D∠B=∠EBC=EF△ABC≌△DEF(AAS)�例题讲解：例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AD=AE，∠B=∠C。求证：BD=CE证明：在△ADC和△AEB中∠A=∠A（公共角）AD=AE（已知）∠C=∠B（已知）∴△ACD≌△ABE（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）又∵AD=AE（已知）∴BD=CEDBEAOC�巩固练习如图，∠1=∠2，∠D=∠C求证：AC=AD证明：在△______和△_______中_______（）_______（）_______（公共边）∴△________≌△_______（）∴_________（全等三角形对应边相等）CADB12ABDABC∠1=∠2∠D=∠CAB=ABABDABCAC=AD已知已知AAS�全等三角形的判定（四）SSS（边边边定理）�定理的引入:ABCD已知：AC=DEAB=DFBC=FE求证：△ABC≌△DFEE思考F�定理的引入:ABCD已知：AC=DCAB=DB求证：△ABC≌△DBC证明：连接AD，∵AC=DC∴∠CAD=∠CDA同理，∠BAD=∠BDA∴∠BAC=∠BDC∵AC=DC∠A=∠DAB=DB∴△ABC≌△DBC（SAS）�ACDB如图所示，△ABC≌△DBC，那么边边边定理得证。在两个三角形中，如果有三条边相等，那么这两个三角形全等。三角形的判定定理四AC=DCAB=DBBC=BC△ABC≌△DBC（SSS）�例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。说出下列判断成立的理由：（1）△ABC≌△CDA（2）∠B=∠DABCD解（1）在△ABC和△CDA中AB=CD（已知）BC=DA（已知）AC=CA（公共边）∴△ABC≌△CDA（SSS）（2）∵△ABC≌△CDA∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）�练习1如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。求证：∠A＝∠D。证明：∵BE＝CF（已知）即BC＝EF在△ABC和△DEF中AB＝DE（已知）AC＝BF（已知）BC＝EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠A＝∠D(全等三角形对应角相等）FABECD小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。∴BE+EC=CF+EC�例2，如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D证明：连结AC,AB＝CD（已知）AC＝AC（公共边）BC＝AD（已知）∴△ABC≌△CDA（SSS）∴∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）ABCD在△ABC和△ADC中�问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？在原有条件下，还能推出什么结论？答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BCABCD小结：四边形问题转化为三角形问题解决。�对应相等的元素两边一角两角一边三角三边两边及其夹角两边及其中一边的对角两角及其夹边两角及其中一角的对边三角形是否全等一定（SAS）不一定一定(ASA)一定(AAS)不一定一定(SSS)归纳：二个三角形全等的判定方法�五、综合练习题全等三角形的应用�一：利用全等三角形证明线段（或角）相等例1：如图，直线AC、BD交于点O，OA=OCOB=OD直线EF过点O且分别交AB、CD于E、FOFEDCBA求证：OE=OF在△AOB和△COD中OB=OD∠AOB=∠CODOA=OC∴△AOB≌△COD（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）在△BOE和△DOF中∠B=∠DOB=OD∠BOE=∠COF∴△BOE≌△DOF（ASA）∴OE=OF（全等三角形的对应边相等）证明�AB=DCAC=DBBC=CB证明：在△ABC和△DCB中如图：AB=DC，AC=DB求证：∠ABO=∠DCO∴△ABC△DCB（SSS）∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)在△AOB和△DOC中∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=CD∴△AOB≌△DOC（AAS）∴∠ABO=∠DCO（全等三角形的对应角相等）OCDBA�巩固练习：如图：AC⊥BCAD⊥BD，AD=BCCE⊥ABDF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：CE=DFFEDCBA分析：由已知可推出△ABC≌△BAD要证CE=DF，需证△ACE≌△ADF，所缺条件可由△ABC≌△BAD推出�二：利用全等三角形证明线的垂直关系4321GEFDCBA证明：例：如图：BF是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，CD是高，BF与CD交于点E，EG∥AC交AB于G求证：FG⊥AB∵BF平分∠ABC∴∠1＝∠2∵CD⊥AB∴∠3+∠AB