2001年高考全国卷理科数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式sinsin21cossinsinsin21sincoscoscos21coscoscoscos21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式lccS21台侧其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式hSSSSV31台体其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若0cossin，则在（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第一、四象限（D）第二、四象限（2）过点1,11,1BA、且圆心在直线02yx上的圆的方程是（A）41322yx（B）41322yx（C）41122yx（D）41122yx（3）设na是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A）1（B）2（C）4（D）6（4）若定义在区间01，内的函数1log2xxfa满足0)(xf，则a的取值范围是（A）（0，21）（B）（0，21]（C）（21，+）（D）（0，+）(5)极坐标方程)4sin(2的图形是ooooxxxx1111（A）（B）（C）（D）（6）函数)0(1cosxxy的反函数是（A）)20)(1arccos(xxy（B）)20)(1arccos(xxy（C）)20)(1arccos(xxy（D）)20)(1arccos(xxy（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21FF，则其离心率为（A）43（B）32（C）21（D）41（8）若40，acossin，bcossin，则（A）ba（B）ba（C）1ab（D）2ab（9）在正三棱柱111CBAABC中，若12BBAB，则1AB与BC1所成的角的大小为（A）60°（B）90°（C）105°（D）75°（10）设)()(xgxf、都是单调函数，有如下四个命题：○1若)(xf单调递增，)(xg单调递增，则)()(xgxf单调递增；○2若)(xf单调递增，)(xg单调递减，则)()(xgxf单调递增；○3若)(xf单调递减，)(xg单调递增，则)()(xgxf单调递减；○4若)(xf单调递减，)(xg单调递减，则)()(xgxf单调递减；其中，正确的命题是（A）○1○3（B）○1○4（C）○2○3（D）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321PPP、、.①②③若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（A）123PPP（B）123PPP（C）123PPP（D）123PPP（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为（A）26（B）24（C）20（D）19第II卷（非选择题90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个椭圆的侧面积是（14）双曲线116922yx的两个焦点为21FF、，点P在双曲线上.若1PF⊥2PF，则点P到x轴的距离为.（15）设na是公比为q的等比数列，nS是它的前n项和.若nS是等差数列，则q.（16）圆周上有2n个等分点（1n），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCDS中，∠90ABC°，SA⊥面ABCD，1BCABSA，21AD.(Ⅰ)求四棱锥ABCDS的体积；(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(18)(本小题满分12分)已知复数31)1(iiz.(Ⅰ)求1argz及1z；(Ⅱ)当复数z满足1z，求1zz的最大值.（19）(本小题满分12分)设抛物线)0(22ppxy的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于BA、两点.点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.（20）(本小题满分12分)已知nmi,,是正整数，且nmi1.(Ⅰ)证明iniimiPmPn；(Ⅱ)证明mnnm)1()1(.(21)(本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(Ⅰ)设n年内（本年度为第一年）总投入为na万元，旅游业总收入为nb万元.写出nnba,的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?(22)(本小题满分14分)设)(xf是定义在R上的偶函数，其图象关于直线1x对称，对任意]21,0[,21xx，都有)()()(2121xfxfxxf，且0)1(af.(Ⅰ)求)21(f及)41(f;(Ⅱ)证明)(xf是周期函数；(Ⅲ)记)212(nnfan，求)(lnlimnna.普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B（2）C（3）B（4）A（5）C（6）A（7）C（8）A（9）B（10）C（11）D（12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π（14）516（15）1（16）2n(n－1)三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M底面43125.0121ABADBC，……2分∴四棱锥S—ABCD的体积是SAV31M底面4313141．……4分（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱．……6分∵AD∥BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分∵22ABSASB2，BC=1，BC⊥SB，∴tan∠BSC22SBBC．即所求二面角的正切值为22．……12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z1=i(1－i)3=2－2i，将z1化为三角形式，得47sin47cos221iz，∴47arg1z，221z．……6分（Ⅱ）设z=cosα＋isinα，则z－z1=(cosα－2)＋(sinα＋2)i，22212sin2coszzsin249(4)，……9分当sin(4)=1时，21zz取得最大值249．从而得到1zz的最大值为122．……12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F(2p，0)，所以经过点F的直线的方程可设为2pmyx；……4分代入抛物线方程得y2－2pmy－p2=0，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=－p2．……8分因为BC∥x轴，且点c在准线x=－2p上，所以点c的坐标为（－2p，y2），故直线CO的斜率为111222xyyppyk．即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．……12分证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则AD∥FE∥BC．……2分连结AC，与EF相交于点N，则ABBFACCNADEN，，ABAFBCNF……6分根据抛物线的几何性质，ADAF，BCBF，……8分∴NFABBCAFABBFADEN，即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．……12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1＜i≤m有imp=m·…·(m－i＋1)，mmmmmpiim1…mim1，同理nnnnnpiin1…nin1，……4分由于m＜n，对整数k=1，2…，i－1，有mkmnkn，所以iimiinmpnp，即imiinipnpm．……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有inniinCmm01，immiimCnn01，……8分由(Ⅰ)知inipm＞imipn(1＜i≤m＜n＝，而!ipCimim，!ipCinin，……10分所以，imiiniCnCm(1＜i≤m＜n＝．因此，miimimiiniCnCm22．又10000mnCnCm，mnnCmCmn11，nimCmini0．∴miiminiiniCnCm00．即(1＋m)n＞(1＋n)m．……12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n年投入为800×（1－51）n－1万元．所以，n年内的总投入为an=800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n－1nkk11)511(800=4000×[1－(54)n]；……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n－1万元．所以，n年内的旅游业总收入为bn=400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n－1nkk11)45(400=1600×[(54)n－1]．……6分（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即1600×[（45）n－1]－4000×[1－（54）n]＞0．化简得5×（54）n＋2