2001高考数学全国卷及答案理

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式sinsin21cossinasinsin21sincosacoscos21coscosacoscos21sinsina正棱台、圆台的侧面积公式S台侧lcc)(21其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体hSSSS)(31一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆(1)若siniθcosθ＞0，则θ在()(A)第一、二象限(B)第一、三象限(C)第一、四象限(D)第二、四象限(2)过点A(1，－1)、B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2=0上的圆的方程是()(A)(x－3)2＋(y＋1)2=4(B)(x＋3)2＋(y－1)2=4(C)(x－1)2＋(y－1)2=4(D)(x＋1)2＋(y＋1)2=4(3)设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()(A)1(B)2(C)4(D)6(4)若定义在区间(－1，0)的函数f(x)=log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是()(A)(210，)(B)210，(C)(21，＋∞)(D)(0，＋∞)(5)极坐标方程)4sin(2的图形是()(6)函数y=cosx＋1(－π≤x≤0)的反函数是()(A)y=－arccos(x－1)(0≤x≤2)(B)y=π－arccos(x－1)(0≤x≤2)(C)y=arccos(x－1)(0≤x≤2)(D)y=π＋arccos(x－1)(0≤x≤2)(7)若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)F2(3，0)，则其离心率为()(A)43(B)32(C)21(D)41(8)若0＜α＜β＜4，sinα＋cosα=α，sinβ＋cosβ=b，则()(A)a＜b(B)a＞b(C)ab＜1(D)ab＞2(9)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若12BBAB，则AB1与C1B所成的角的大小为()(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增；②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增；③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减；④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减．其中，正确的命题是()(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则()(A)P3＞P2＞P1(B)P3＞P2=P1(C)P3=P2＞P1(D)P3=P2=P1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为()(A)26(B)24(C)20(D)19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是奎屯王新敞新疆(14)双曲线116922yx的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为奎屯王新敞新疆(15)设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则q=奎屯王新敞新疆(16)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为奎屯王新敞新疆三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，21AD．(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(18)(本小题满分12分)已知复数z1=i(1－i)3．(Ⅰ)求argz1及1z；(Ⅱ)当复数z满足1z=1，求1zz的最大值．(19)(本小题满分12分)设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．(20)(本小题满分12分)已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．(Ⅰ)证明iniimiPmPn；(Ⅱ)证明(1＋m)n＞(1＋n)m．(21)(本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？(22)(本小题满分14分)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称．对任意x1，x2∈[0，21]都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)．且f(1)=a＞0．(Ⅰ)求f(21)及f(41)；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记an=f(2n＋n21)，求nnalnlim．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B（2）C（3）B（4）A（5）C（6）A（7）C（8）A（9）B（10）C（11）D（12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π（14）516（15）1（16）2n(n－1)三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M底面43125.0121ABADBC，……2分∴四棱锥S—ABCD的体积是SAV31M底面4313141．……4分（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱．……6分∵AD∥BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分∵22ABSASB2，BC=1，BC⊥SB，∴tan∠BSC22SBBC．即所求二面角的正切值为22．……12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z1=i(1－i)3=2－2i，将z1化为三角形式，得47sin47cos221iz，∴47arg1z，221z．……6分（Ⅱ）设z=cosα＋isinα，则z－z1=(cosα－2)＋(sinα＋2)i，22212sin2coszzsin249(4)，……9分当sin(4)=1时，21zz取得最大值249．从而得到1zz的最大值为122．……12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F(2p，0)，所以经过点F的直线的方程可设为2pmyx；……4分代入抛物线方程得y2－2pmy－p2=0，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=－p2．……8分因为BC∥x轴，且点c在准线x=－2p上，所以点c的坐标为（－2p，y2），故直线CO的斜率为111222xyyppyk．即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．……12分证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则AD∥FE∥BC．……2分连结AC，与EF相交于点N，则ABBFACCNADEN，，ABAFBCNF……6分根据抛物线的几何性质，ADAF，BCBF，……8分∴NFABBCAFABBFADEN，即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．……12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1＜i≤m有imp=m·…·(m－i＋1)，mmmmmpiim1…mim1，同理nnnnnpiin1…nin1，……4分由于m＜n，对整数k=1，2…，i－1，有mkmnkn，所以iimiinmpnp，即imiinipnpm．……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有inniinCmm01，immiimCnn01，……8分由(Ⅰ)知inipm＞imipn(1＜i≤m＜n＝，而!ipCimim，!ipCinin，……10分所以，imiiniCnCm(1＜i≤m＜n＝．因此，miimimiiniCnCm22．又10000mnCnCm，mnnCmCmn11，nimCmini0．∴miiminiiniCnCm00．即(1＋m)n＞(1＋n)m．……12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n年投入为800×（1－51）n－1万元．所以，n年内的总投入为an=800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n－1nkk11)511(800=4000×[1－(54)n]；……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n－1万元．所以，n年内的旅游业总收入为bn=400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n－1nkk11)45(400=1600×[(54)n－1]．……6分（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即1600×[（45）n－1]－4000×[1－（54）n]＞0．化简得5×（54）n＋2×