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上册第一讲中国古代数学家刘徽刘徽-简介刘徽九章算术刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了割圆术，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上．虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系．刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。第二讲法国数学家勒内．笛卡尔勒内·笛卡尔勒内·笛卡尔（ReneDescartes，1596——1650），著名的法国哲学家、科学家和数学家。笛卡尔常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省笛卡尔-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩）。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。人物简介笛卡尔出身于一个地位较低的贵族家庭，父亲是布列塔尼议会的议员。1岁多时母亲患肺结核去世，而他也受到传染，造成体弱多病。母亲去世后，父亲移居他乡并再婚，而把笛卡尔留给了他的外祖母带大，自此父子很少见面，但是父亲一直提供金钱方面的帮助，使他能够受到良好的教育。在他8岁时笛卡尔就进入拉夫赖士(LaFlèche)的耶稣英语会学校接受教育，受到良好的古典学以及数学训练。1613年到普瓦捷大学学习法律，1616年毕业。毕业后笛卡尔一直对职业选择不定，又决心游历欧洲各地，专心寻求“世界这本大书”中的智慧。因此他于1618年在荷兰入伍，随军远游。笛卡尔对数学的兴趣就是在荷兰当兵期间产生的。一次他看到军营公告栏上用佛莱芒语写的数学问题征答引起了兴趣，并且让一位他当兵的朋友，进行了翻译。他的这位朋友在数学和物理学方面有很高造诣，很快成为了他的老师。4个月后，他写信给这位朋友，“你是将我从冷漠中唤醒的人...”，并且告诉他，自己在数学上有了4个重大发现。可惜的是这些发现现在已经无从知道了。26岁时，笛卡尔变卖掉父亲留下的资产，用4年时间游历欧洲，其中在意大利住了2年，随后定居巴黎。1621年笛卡尔退伍，并在1628年移居荷兰，在那里住了20多年。在此期间，笛卡尔专心致力于哲学研究，并逐渐形成自己的思想。他在荷兰发表了多部重要的文集，包括了《方法论》、《形而上学的沉思》(Méditationsmétaphysiques)和《哲学原理》(LesPrincipesdelaphilosophie)等。1649年笛卡尔受瑞典女王之邀来到斯德哥尔摩，但不幸在这片“熊、冰雪与岩石的土地”上得了肺炎，并在1650年2月去世。1663年他的著作在罗马和巴黎被列入禁书之列。1740年，巴黎才解除了禁令，那是为了对当时在法国流行起来的牛顿世界体系提供一个替代的东西。第三讲速算与巧算一、知识要点：（一）四则运算的定律、性质、法则是进行速算与巧算的重要依据。1、利用运算定律使计算简便。2、利用运算顺序的改变使计算简便。3、利用运算法则使计算巧妙。（二）转化是速算与巧算的主要技巧。1、当一个数接近整十、整百、整千……的时候，将其转化为整十、整百、整千的数，计算比较简便。2、利用数的分解或拆数，转化后巧算。3、改变计算方法（变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）使计算简便。（三）认真观察算式及数的特征，剖析数于数之间的关系，是灵活的选择和合理运用计算技巧的主要方法。二、例题精讲例1：（凑整法）计算下面各题。（1）、5.8＋2.32＋0.68＋4.2（2）、1999＋199.9＋19.99＋1.999（3）、12.59－3.24－5.76（4）、8.1＋7.8＋8.2＋8.4＋7.9＋7.6【思路点拨】（1）5.8与4.2刚好凑成10,2.32与0.68刚好凑成3，这样凑整可以式计算简便。（2）1999接近2000，其余各加数也分别接近一个整数，可先把各加数看作与它接近的整数。再把多加的那部分减去。（3）3.24与5.76的和是整数9，可以运用减法运算的性质把原式变为12.59－（3.24＋5.76），这样计算就简便了。（4）算式中的6个数都接近8，可以用8作为基准数，先求出6个8的和，再加上比8大的数中少加的部分，减去比8小的数中多加的部分。也可以运用凑整法。例2：（分解法）计算下面各题（1）18×5.5（2）8.88×1.25（3）34.7×0.25（4）238÷1.25（5）0.25×12.5×3.2【思路点拨】（1）运用分解法巧算。把18分解为9×2，然后运用乘法结合律，把2×5.5结合积为11，最后求出9与11的积。（2）把8.88分解为8×1.11，然后运用乘法结合律。（3）因为4×0.25=1，所以一个数乘0.25，就相当于这个数除以4.（4）因为8×1.25=10，所以一个数除以1.25，相当于这个数除以10，再乘8，即先把小数点向左移动一位，再乘8.（5）把3.2分解为4×0.8，在运用乘法结合律。例3：计算（1）124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68（2）5795.5795÷5.795×579.5【思路点拨】（1）可运用拆分法巧算。把每一个加数都拆分为一个整数和一个小数的和，可以使计算简便。（2）运用改变运算顺序法式计算简便。，先求出579.5除以5.795的商得100，然后再求出5795.5795×100的积。例4：计算下面各题。（1）1990×198.9－1989×198.8（2）2.25×0.16＋264×0.0225＋5.2×2.25＋0.225×20【思路点拨】（1）利用扩缩法巧算。根据积的变化规律：一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的道理，可以把被减数写成199×1989，然后利用乘法分配律巧算。（2）同样利用扩缩法简便计算，注意选择最佳方案。例5：计算：（1＋0.28＋0.84）×（0.28＋0.84＋0.66）－（1＋0.28＋0.84＋0.66）×（0.28＋0.84）【思路点拨】可以利用设数法解题。整个式子是乘积之差的形式，两个乘积斗的构成很有规律：如果把1＋0.28＋0.84用字母A表示，把0.28＋0.84用字母B表示，原式就可以变成A×（B＋0.66）－（A＋0.66）×B。在运用乘法分配律使计算简便。例6：计算4.82×0.59＋0.41×1.59－0.323×5.9【思路点拨】先改变原运算顺序（加法交换律），先求出4.82×0.59与0.323×5.9的差，可运用扩缩法把0.323×5.9写成3.23×5.9,后运用乘法分配律计算，然后再加上0.41×1.59，再次运用乘法分配律巧算。例7：计算654321×123456－654322×123455.【思路点拨】观察算式中数的特点，发现被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1和多1，即654321比654322少1,123456比123455多1，可以利用乘法分配律简算。解：654321×123456－654322×123455=654321×（123455＋1）－（654321＋1）×123455=654321×123455＋654321－654321×123455－123455=654321－123455=530866例8：计算1998×199919991999－1999×199819981998【思路点拨】可以运用数的分解和乘法分配律简算。因为abab=ab×101,abcabc=abc×1001,所以199919991999=1999×100010001,199819981998=1998×100010001.这样被减数和减数都有相同因数100010001，就可以运用乘法分配律进行简算了。解：1998×199919991999－1999×199819981998=1998×1999×100010001－1999×1998×100010001=0例9：计算（1＋3＋5＋…＋1999）－（2＋4＋6＋…＋1998）【思路点拨】根据减法的性质，将原式拆开后，在配对组合，进行等量变形。即（3－2）为一组，（5－4）为一组…（1999－1998）为一组，这样每组的差都是1，共分为（1998÷2）组，所以结果为1000.当然本题也可以运用等差数列求和的方法进行计算。例10：计算100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1.【思路点拨】本题按顺序计算太繁，观察算式的特点，发现每两个数相加后，又会减去两个数，我们可以考虑把它们四个数分为一组，每组结果都是4，共分为100÷4=25组。所以结果是4×25=100.三、同步练习计算下面各题（1）0.125×0.25×32（2）16×4.5（3）0.25×1.25×22.4（4）0.9＋0.99＋0.999＋0.9999＋0.99999（5）（72×357＋357×28）÷（51×7×4）（6）98989898×99999999÷1010101÷11111111（7）3.14×6.5＋4.5×3.14－3.14（8）1240×3.8＋124×51＋1.24×1400＋760×9.6＋0.76×700（9）1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷…÷（1999÷2000）1－2＋3－4＋5－6＋…－98＋99－100＋100（10）（2＋5＋8＋…＋2000）－（1＋4＋7＋…＋1999）20112012×20122011－20112011×20122012（11）1＋2＋3＋4－5－6－7－8＋9＋10＋11＋12－13－14－15－16＋…＋1985＋1986＋1987＋1988－1989－1990－1991－1992＋1993＋1994第四讲平