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等比数列及其前n项和（共4页）-1-高二文科数学基础辅导材料三等比数列及其前n项和学习目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点1等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么________叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔________.答案：(1)2同一个常数公比(2)GG2＝ab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝________.(2)前n项和公式：Sn＝，q＝1，a1－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.答案：(1)a1qn－1(2)na1[典题1]已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[点石成金]等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列．[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.练习一：设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．等比数列及其前n项和（共4页）-2-考点2等比数列的基本运算1.练习二：(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9S3＝________.2.易错问题：等比数列的两个非零量：项；公比．(1)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于________．(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝__________.3.常考题型：[考情聚焦]等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求首项a1，公比q或项数n[典题2][2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比为()A．2B．3C．4D．5角度二求通项或特定项[典题3][2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列，则an＝________.角度三求前n项和[典题4](1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.3312B．31C.314D．以上都不正确(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则S6S3＝________.[点石成金]解决与等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1－qn1－q＝a1－anq1－q.等比数列及其前n项和（共4页）-3-考点3等比数列的性质1.等比数列的常用性质：(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝________＝________.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.答案：(1)qn－m(2)ap·aqa2k2.易错问题：等比数列的基本公式：通项公式；前n项和公式．(1)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝4，则公比q＝________.答案：2解析：由a4＝a1q3，得4＝12q3，解得q＝2.(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8S4＝1716，则公比q＝________.答案：12解析：易知公比q不为1，由等比数列求和公式得1－q81－q4＝1716，即1＋q4＝1716，所以q4＝116，得q＝12或q＝－12(舍去).3.通性通法：应用等比数列的前n项和公式的两个注意点：公比应分q＝1与q≠1讨论；注意利用性质．(1)设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则此数列的公比q＝________.答案：1或－12解析：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意；当q≠1时，a1－q31－q＝3a1q2，∵a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)，∴2q3－3q2＋1＝0，即(q－1)2(2q＋1)＝0，解得q＝－12.综上所述，q＝1或q＝－12.(2)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.答案：11解析：由题意知a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…成等比数列，其公比q＝－21＝－2，首项为a1＋a2＋a3＝1，因此该数列的前5项和就是数列{an}的前15项的和，故S15＝1×[1－－5]1－－2＝11.[典题5](1)[2017·广东广州综合测试]已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9＝()A．10B．20C．100D．200(2)[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.[点石成金]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.等比数列及其前n项和（共4页）-4-练习三：1.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝()A．2B.73C.310D．1或22．[2017·甘肃兰州诊断]数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝an＋1an，若b10b11＝2015110，则a21＝________.答案：2015解析：由bn＝an＋1an，且a1＝1，得b1＝a2a1＝a2，b2＝a3a2，a3＝a2b2＝b1b2，b3＝a4a3，a4＝a3b3＝b1b2b3，…，an＝b1b2…bn－1，∴a21＝b1b2…b20.∵数列{bn}为等比数列，∴a21＝(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝(b10b11)10＝(2015110)10＝2015.归纳总结：[方法技巧]1.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an＋1an＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用anan－1＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．(2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．2．常用结论(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．(2)若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.[易错防范]1.特别注意当q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．