1.1命题与量词

歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬的局面，歌德只是笑笑，一边谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反。”你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？批评家：（1）我不给傻子让路，（2）你歌德是傻子，（3）我不给你让路。歌德：（1）我给傻子让路，（2）你批评家是傻子，（3）我给你让路。常用逻辑用语“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.1.1.1命题例1判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数，则a是奇数;(3)一次函数的图象是直线吗？(4)若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行;(5);(6)x15.222真命题真命题真命题假命题上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.（1)（5）也可改写成这种形式“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”、“只要p,就有q”等形式.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.例2指出下列命题中的条件p和结论q;(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但可以改写成“若p,则q”的形式,例如:对顶角相等；全等三角形的对应边相等.例3将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数;(3)对顶角相等;(4)等腰三角形两腰的中线相等;(5)无理数是实数;(6)没有一个无理数不是实数.思考?下列语句是命题吗?(1)x15;(2)2x+1=3;(3)x能被2和3整除.（1）有些语句中含有变量，在没有给出这些变量的值之前无法判断语句的真假，这种含有变量的语句叫开语句(条件命题),开语句不是命题.注意：(2)一般地，将含有变量x的语句（开语句）用p(x)、q(x)…..表示，如p(x)：x7等，对p(x)赋予变量x某一确定的值或其它限制条件，开语句成为命题，如p(5)：57；1:,7.pxx对所有整数（1）全校所有的学生都参加了校运会；（2）所有的中国公民的合法权利都受到中国宪法的保护；（3）每一个中国公民都有遵守宪法的义务；（4）任何中国公民都不能违背中华人民共和国宪法；观察下列命题：（5）对任意的实数x，都有x2≥0；Z,xx使（6）存在能被3和5都整除.1.1.2量词1.全称量词：表示全体的量词在逻辑中称为全称量词.“所有”、“任意”、“每一个”等x读作：“对任意x”2R,0xx2R,10;xxx记作：2.全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题.其一般形式为：,()xMpxM为给定的集合，p(x)是M中所有元素都具有的性质()xMPx读作对任意属于，有成立.判断全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数;（2）x∈R,x2+1≥1;（3）对每个无理数x，x2也是无理数.要判定全称命题“x∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.如何判断一个全称命题的真假？观察下列命题:有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数;有的平行四边形的四个内角都是直角;存在一个函数,图象不关于原点对称;有一些实数不能做分母.3.存在量词：表示个体或部分的量词在逻辑中称为存在量词.“至少有一个”、“存在一个”、“有些”、“有的”x读作：“存在x”记作：2R,20xxx4.存在性命题(特称命题)：含有存在量词的命题称为存在性命题.其一般形式为：,()xMpxM为给定的集合，p(x)是M中有（存在）一些元素具有的性质.读作：存在一个x属于M，使p(x)成立判断存在性命题的真假：（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0;（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线;（3）有些数只有两个正因数;（4）存在实数x，使≤0;（5）存在整数x能被3和5都整除.要判定存在性命题“x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则存在性命题是假命题.如何判断一个存在性命题的真假？22xx例2.判断下列命题的真假：3Z,1xx2R,20xx2Q,3xx4N,1xx（1）（2）（3）（4）例与练例1.用量词符号表示下列命题：（1）任意一个实数的绝对值都是非负数；（2）存在一个自然数x，使268.xx是负数R,||0xx2N,680xxx真假真假1、任意三角形都有外接圆；2、任何无理数的平方仍然是无理数；例3.判断下列命题的真假：3、有些实数不存在平方根．巩固练习1.下列命题中为全称命题的是（）A.今天有人请假B.矩形都有外接圆C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行2.下列命题中真命题的是（）A.任何一个一元二次方程都有不相等的两实根B.一切实数都有平方根C.有些二次函数的图象不是抛物线D.存在体积相等的球和正方体3.“任何一个三角形的三条高线都交于一点”是一个_____性命题（填“全称”、“存在”）它是一个_____命题.（填“真”、“假”）4.判断下列命题的真假：2N,320xxx2Q,QxxN,xxx2R,41290xxx（1）（2）（3）（4）课堂小结两种命题的含义2.要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使p(x)为真，否则命题为假.1.要判断一个全称命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素x，使p(x)为真；要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素x，使p(x)为假.