§2.3与圆有关的轨迹问题

ZHUANTI一.直接法求轨迹1.圆的标准方程步骤建系-设点-几何特征-代数化-检验求与点O（0,0），A（3,0）距离之比是的点M的轨迹方程。分析:建系设点M(x,y)是轨迹上的任意一点,轨迹的几何特征:代数化(化简)检验:12||1||2MOMA222212(3)xyxy22(1)4xy已知一等腰三角形的顶点A（3,20），一底角顶点B（3,5），求另一底角顶点C的轨迹方程。..\必修2课件\课件展示\圆轨迹3.gsp在直角△ABC中，斜边是定长2a，求直角顶点C的轨迹方程.取AB所在的直线为轴，AB的中点O为坐标原点，建立坐标系．则有AB。设动点C为∵∴即．由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点，故所求方程为222||||||ACBCAB2222222[()][()]4xayxaya222xya(,0)a(,0)a(,)xy222xyaxa已知实数a，b，c成等差数列，点P(－1,0)在直线ax＋by＋c＝0上的射影是Q，则点Q的轨迹方程是________．[解析]由条件知2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0∴直线ax＋by＋c＝0过点A(1，－2)，设Q(x，y)，则PQ→⊥AQ→∵PQ→＝(x＋1，y)，AQ→＝(x－1，y＋2)∴(x＋1)(x－1)＋y(y＋2)＝0即x2＋(y＋1)2＝2.二.代点法求轨迹方程已知线段AB的端点B（4,3），点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB中点M的轨迹方程..\必修2课件\课件展示\圆轨迹1.gsp设M(x,y)是轨迹上的任意一点,A(x0,y0),则故即004232xxyy002426xxyy22(241)(26)4xy已知圆O:点A(2,0),过A作直线AB交圆于B,求AB中点M的轨迹方程..\必修2课件\课件展示\圆轨迹2.gsp224xy三.定义法:动点运动符合已知曲线的定义，根据定义求出曲线方程的方法称为定义法。例如:动点M到A（-1,0）的距离与它到B（3，0）的距离相等，求动点M的轨迹方程。..\必修2课件\课件展示\线段中垂线1.gsp..\必修2课件\课件展示\角平分线1.gsp动点A在圆上移动时，它与定点B（3，0）的连线的中点M的轨迹方程。..\必修2课件\课件展示\圆轨迹4.gsp229xy分析：由|OA|=3，M为AB中点知点M与OB中点E（，0）连线满足|ME|=故点M的轨迹为以E为圆心,为半径的圆。当A在轴时亦适合。故所求轨迹方程为3232322239()24xy已知直线与圆O相交于A、B两点，求当k变动时，弦AB中点M的轨迹方程。..\必修2课件\课件展示\圆轨迹5.gsp222:():lykxaOxyr=-+=及圆提示：l恒过定点C（a，0），又OM⊥AB，故点M为以OC为直径的圆上点。答案：222222()()24aaxyxyr-+=+四.参数法求轨迹已知方程表示圆，求圆心的轨迹方程22222330(0)xyaxayaa设圆心C（x，y）则故3xaya33xy