数学本质概念——角

数学本质概念－角－纯数四陈映妤一、分年细目中的「角」3-s-04能认识角，并比较角的大小。（同3-n-17）4-s-01能运用「角」与「边」等构成要素，辨认简单平面图形。4-s-04能认识「度」的角度单位，使用量角器实测角度或画出指定的角。（同4-n-14）4-s-05能理解旋转角的意义。4-s-06能理解平面上直角、垂直与平行的意义。4-s-07能由直角、垂直与平行的概念，认识简单平面图形。二、「角」的概念数学上的角概念和日常生活中所谈到的角，所表示的意义有时是不太一样的。儿童角概念的认知，有其发展的顺序性，先由具体的经验、察觉，渐进发展至抽象概念的理解。以下先就角概念加以阐释，再说明儿童的学习发展特征及指导原则。1、一般生活中所说的角概念一般人对角的认识，常是真正角概念的局部：一个角有个线段当作边，两边中夹着一块区域，产生一个尖尖的顶点。此外，常以角的顶点或顶点的邻近区域来描述角，如桌角，墙角，三角形上的角，四边形上的角，.....，等，由于角的形象大都以有限度的对象呈现，因此，角的边也常以线段表示。2、理想的角概念从实际经验及数学上的定义，角的意义可分成以下三方面来说明(MichaelC.1989)：(1)角是一双定出两个方向间的差量之射线。(2)角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域。(3)角是一射线绕其端点旋转一个程度的量。因此，理想化的角概念，可简单说成是自一点朝两个不同的方向延伸出两条射线的结构，角的边是射线而不是线段(在旋转产生角的情况下，虽然旋转是一种动作，动作停止，其现象即消失，但它有一个起始方向和终止方向，此二方向可用两条射线来表示)，此两射线是制程角的张开活动的限制边界。不论代表此射线的线段长短(此时的长短，只是线段的另一端点的不同而已)如何，均可完成同样的限制活动。事实上，平面上的有限图形(如多边形)中，并不包含任何角，而只包含了角顶点的邻近区域。构成角顶点的邻近区域线段长度的不同，会使角顶点的邻近区域有所不同。同时，角与角的内部是共生的(二者同时出现)，角的两边之张开程度大小，不因为边长的差异而有所不同。三、专家学者怎么看待「角度」单元内容（一）心理学家谈儿童「角」的认知概念1、Piaget的角概念发展阶段论Piaget和Inhelder（1971）以三个有关角的测量设计来分析儿童角的概念，结果将儿童角的概念发展依年龄分成四个阶段，分别是阶段I（4-5岁）阶段IIA（6岁）此两阶段仅能藉由视觉估测来画图形，无法运用工具测量；阶段IIB（6-7岁）能做长度测量，但不会做角度测量；阶段IIIA（7-9岁），在复制角时，能以直尺维持线段的斜度，但无法觉察角的存在；阶段IIIB（9岁-9岁6个月）利用直角当作参考角，以直线测量的方式，找出斜度和垂直底边的高；阶段IV（大于9岁6个月）能摆脱图形本身的影响，画出补助线和高，能将角的概念普遍化。2、Vygotsky社会文化互动论Vygotsky并未真正对儿童角概念进行什么研究，但他提出二个很重要的名词，是在教角概念时必须要思考的问题，一个是自发性的概念（spontaneousconcepts），这是一种由下而上，透过具体，每天的生活经验所获得的知识，像「桌角尖尖的，要小心」，便是对角概念所产生的自发性概念；另一个是科学性的概念（scientificconcepts），指的是一种抽象，系统化的知识，这种知识，往往经由正式的学校教育来习得，它是一种由上而下的学习，必须藉由文字当中介，例如数学中，角的构成要素是始边、终边、支点和旋转的区域，这种科学性的概念，儿童无法直接看到，必须藉由文字或语言来学习，所以教师教学时，要能从儿童自发性概念，引导到科学性的概念，才能协助儿童对科学概念学习，发展出较高的知觉、抽象和控制的思考能力。（二）数学家谈「角」的数学内涵1、VanHiele的几何思考阶段论VanHiele夫妇提出儿童对于几何学习是具有五个不同的思考发展阶段，每个阶段有其不同的特征，若经由适当的教学，学生的经验可从较低阶段的几何思考，到较高阶段的严密性思考，各发展阶段特征如下（朱建正，2002a；Clements&Battista,1992）：（1）阶段零:视觉期（visualization）即依图形的外在特征来判别，其所关注的要素是外形轮廓。（2）阶段一：分析期（analysis）能从图形的特质与特质间的关系来分析图形，也可以从图形的部份或整体来分析图形的构成要素。（3）阶段二：关系期（relation）或非形式演绎期（informaldeduction）此期儿童可以透过非正式的论证，把先前发现的性质做逻辑地联结，能进一步探索图形内在特质关系，及各图形间的包含关系，（4）阶段三：正式演绎期（formaldeduction）此阶段儿童能以演绎逻辑技巧为思考，分析与证明一些公设系统。（5）阶段四：精确期（rigor）或公理性（axiomatic）可以在不同的公设系统中建立定理，并分析和比较这些系统的特性。2、Close的两种角定义Close（1982）将角分为二个范畴，一是静态角（staticangle），将角视为一固定的维度，所以具有方向性，而另一个是动态角（dynamicangle），是一直线绕一端点旋转的量，所以角是包含于平面上一边旋转到另一边的量。3.朱建正对角的定义朱建正（2002b）分析国小数学课程中有关角的概念，区分为图形角、张开角和旋转角。所谓「图形角」是由相交且止于一边的二线段所构成，此夹角大于0，小于180度，此二线段称为角的边，交点称为顶点，图形角变大变小的机制不明，所以儿童不易觉察角的存在。「张开角」是透过折扇的方式，可透过展开大小来表征张开角的大小，透过将张开程度的纪录和图形角比较，来表征角的大小与比较。「旋转角」是固定一点，像秒针移动的方式叫旋转，旋转的中心点叫支点，旋转具有方向性和大小，因此可做角的合成、分解和度量单位的命名。4.理想的角度课程设计刘好（1997,1999）认为理想的「角」课程设计理念应分成三阶段来完成：(1)从图形角、张开角到旋转角来建立各种角概念(2)由角的大小比较、合成、度量单位引出画特定角(3)由建立直角概念、察觉图形角的特征，引出直线的垂直与平行关系四、儿童角概念的认知及角概念的启蒙之实际作法1、图形角小学阶段的儿童，尚不易理解理想化的角概念。根据荷兰数学教育家VanHiele夫妇对儿童几何思考模式的研究指出：儿童最初是透过视觉观察具体物，由实物的轮廓来辨认图形，须透过感官的操作，视觉的观察进行分类、造形、堆栈、描绘、着色等活动获得概念。儿童当能认识正方形或长方形的命名时，并不见得知道如何给正方形下定义。对于角的认识，也有同样的情况。由于我们日常生活中所看到的平面图形，大都属于有限图形，许多的这类图形上包含了角顶点的邻近区域，同时角的内部与角是共生的，角看成区域的概念在初学阶段的儿童较易理解。因此，数学新课程在最初引出角的概念时，由图形角出发，采取角是多边形顶点的局部的观点，由描出凸多边形各角的活动引出角度小于180度的角之部份形象以认识角（见83年版数学实验教材第五册第六单元）。以「概念是解题活动过程的抽象」的看法，让儿童透过要素抽离的实际活动，自多边形上描下角形，使儿童认识角是构成多边形的要素，初步认识角。2、张开角由于角的多种不同意义，儿童对角的理解较为困难，8至9岁的学童对角的认识，大都仅止于物体上静态的角之局部形象。因此为使理想化的角概念和实物上的角产生联结，应利用「角概念的产品」，如扇子的开合现象引入，从产品的功能及其形成活动引出「角概念（张开角）」、「角的内部与角共生现象」、「方向改变」及「边为射线的一部份（可任意延长）」的意义。新课程首先以可张合呈现角形的对象，如扇子之开合现象，让儿童察觉角的形成过程。由观察张开动作体认张开的结果，以活动产生角形，及由角形说明活动现象，使二者形成联结。其次再利用记录（描绘）一端可开合对象的张开形象，产生的角形和多边形图形板所描下的角形之联结，引出「角」及其构成要素「边」和「顶点」的概念及名称。起初重在引出造角活动，其次为活动结果的记录及其构成要素的命名（见84年版小学数学实验教材第六册第九单元活动1，2）。3、旋转角是一种动作，动作停止，其现象即消失，为具体呈现其起始位置和终止位置，通常以直线段或射线表出，若要强调其起始位置及旋转方向，常以「」指示，如图。表示一个旋转的记录中起始位置的线段（射线）称为「始边」，表示终止位置的线段（射线）称为「终边」，两线段的交点称为「旋转中心」或「顶点」，若不考虑其旋转方向，仅记出其起始的两边，则其形象和静态的图形角相似，故一般将旋转角亦简称「角」。这种旋转是一种较抽象难懂的位置变换，10到11岁的儿童，才有50％以上能够描绘一个简单图形绕着一个顶点的旋转(Michael,1989)。向来各国都把「角为一射线旋转产生的概念」保留到中学「角的测量制度」之前介绍。Kirsche(1987)认为这样太迟。他认为小学时期的儿童能够而且应该获得旋转的非正式经验，旋转角概念容易以像时钟一样的图像表示，但钟面上的指针不要总是从12开始转。此阶段儿童几何概念的发展，大都还属于VanHiele所谓的视觉辨识过渡到分析期的阶段，而且旋转概念才初次引出，对于旋转一圈后，可再重复原路径继续旋转的角概念，尚不易理解，故此时仅以360度以内为范围，利用钟面指针旋转及间隔与旋转角度的关系，扩展此概念。五、由角的大小比较、合成、度量单位的引出到画特定角角的大小，乃指角的一边扫过一个范围，到达另一边后两边张开程度的大小，这种二维的特征，和长度有较大的差异，一般人常会在角的两边上各选一点，以此两点的距离当做角的开度，形成一个角的边越长，其角度就越大的错误观念。因此，角的张开程度的大小不因为边长的差异而有所不同之正确概念的建立，是角度数量化的基础。(一)儿童角量概念的发展特征根据皮亚杰(J.Piaget)的研究发现，角的大小常被儿童认为和角臂的长度有关。8岁以前的儿童，大都以角的边长来观察角的大小，直到8岁以后，才能察觉角的两边张开的程度，但此时许多学童尚缺乏角的保留性概念，同大的角，若摆置的方向不同，如a和b为同大的角，c和d皆为直角，但摆放的问口方向不同，他们会认为大小不一样。据研究发现，儿同能察觉角的大小是指两个边张开程度的不同之后，才能做两个不同的角量之比较，进而以一个基准角去描述另一个角的角量，将角量数值化。Micheal强调儿童必须熟悉角的射线对、区域、旋转三种的概念，而且达到融会贯通之后，才能了解测出度数的意义。当儿同能察觉角的大小乃是两边张开程度的差异时，开度相差较大的角，儿童可以由视觉判定其大小，开度相差不大的角、角的边长短不一致或角的开口方向不同，较难由视觉正确分辨的情况，可以经引导后，利用迭合方式加以判别。当儿童具有角的开度保留概念及递移概念时，对于无法进行直接迭合判断大小的角，便能利用复制(如描绘)的方式加以处理。儿童能以单位度量角度之前，必须先具备角的合成概念：两个角可以使其一边相迭合成另一个角。理解此概念之后，进而可领会数个相等的角可以依此法合并，形成一个开度相当于一个角的数倍大的角，因而理解5个1度的角可以合并成5度角，10个1度的角可以合并成10度角，......，明白量角器上刻度的意义。(二)由直观比较、直接比较到间接比较判定两个或两个以上的角之大小基于以上儿童角量概念的发展特性，教学时，必须以不同的实例呈现不同特征的角供儿童观察、操作与讨论。因此，新课程中，首先提出开度差异较大的角，如张开两把差异极显著的纸扇，由儿童直观的利用视觉辨别。其次提供较难由视觉正确分辨其大小的角，如利用各种图形板上的角，引出使用迭合之方式进行直接比较。直接比较与角所附着情境的不同，可分成四种不同难易层次，由低而高分别为(1)单纯角形且可任意移动的二角之迭合；(2)一角可随意拿动，另一角不可单独移动；(3)两角皆不可单独移动，但其附着物可随意移动，且可迭合；(4)实物上的角，其中至少一个便于拿动，教学时，自较低层次的比较情况开始，再渐进到