固体电子导论ppt3

§3.1晶体中原子的微振动声子第三章晶格振动主要知识点：简谐振动晶体原子实际振动简正坐标和等效的谐振子模型声子一、微振动方程及其解设晶体由N个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：nnnxRR'平衡位置位移矢量（原子偏离平衡位置）以位移矢量作为考察量：)()(),(31323654321NNNxxxxxxxxx晶体的振动动能：NiiiNiixmTT3123121iiixmqNiiqT31221晶体振动势能iqUiq按的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数jijijiiiiqqqqUqqUUU0200)(21)(高阶项其中00U平衡位置处的势能为零势能点00iqU平衡位置处势能为极小值02jiijqqUb略去高阶项（简谐近似）ijjiijiqqbqU21晶体的振动势能：拉格朗日函数UTL代入拉格朗日方程)31(0)(NkqLqLdtdkk031NiiikkqbqNk3,,2,1由3N个线性齐次方程组成的方程组,其一组特解为tAqkksinNk3,,2,1所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅的振动,称为简谐振动。有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。tAqkksinNk3,,2,1每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的频率，初相位的振动，也称为一个振动模式。31()NkkllllqAsint方程的一般解可表示为特解的线性叠加Nk3,,2,1共有3N种叠加方式，表示3N种的实际振动方式。对晶体中某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。借助简谐振动，可以将这一复杂的运动图象简化。晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示运用线性变换的方法，引入简正坐标，31NkklllqaQ31NllkkkQbq)(sin0lllltQQNl3,,2,1NllE31NllllQQ3122221总能量：1、简正坐标和谐振子：代入能量表达式，消除势能交叉项（即消去相互作用）谐振子二、晶格振动的能量21122iijijiijETUqbqqN个相互作用着的原子系统可看成3N个独立的谐振子组成的系统。系统的总能量：lNll)hυ(nE3121lll)hυ(nε21每一个谐振子能量可表示为根据量子理论2、声子声子晶体系统的能量可看成由大量声子组成。①光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。②声子------声子携带格波（简谐振动）的能量和动量。若格波频率为ω，波矢q为，则声子的能量为ħω，动量为ħq。③声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。④可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化。声子的粒子性：返回§3.2一维布拉菲格子的晶格振动naan2an1an1an2一维布拉菲格子（一维单原子链）对一维格子晶格振动的讨论是了解和描述三维格子晶格振动的重要基础。a一、简谐近似下的运动解2220)(21)(0xdxudxux则原子间相互作用力xxdxuddxduxfx022)(近似1：简谐近似下原子间作用力简化为弹性力。0022021()()()2xxduduuxuxxxdxdx作用力常数因此在简谐近似下，原子间的相互作用类似于一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子。+2nx第n+1个原子对第n个原子的作用力)(11,nnnnxxf)(11,nnnnxxf第n-1个原子对第n个原子的作用力naan2an1an1an22nx1nxnx1nx每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个方程联立的线性齐次方程组.第n个原子的运动方程)2(11nnnnxxxmx)2(111,1,nnnnnnnnxxxfff第n个原子受到的合力为：近似2：只考虑最近邻原子间作用力正q对应于沿+x方向的前进波，负q对应于沿-x方向的波，这种在晶体中格点间传播的波，称为格波。)(tqnainAex试解：为波矢2q位于处的原子的振动试探解na一种振动模式,q（n=1,2,…）为频率格矢量试解代入运动方程)2(2iqaiqaeem——一维布拉菲晶格中格波的色散关系)]cos(1[22qam2sin2qam常将q限制在qaa称为一维布拉菲晶格的第一布里渊区。即一维布拉菲晶格的倒格子原胞2sin2qam色散关系具有周期性m2aa0q一维布拉菲晶格的色散关系曲线色散关系曲线中任意一点的坐标代表一种振动模式，即代表一种格波。,q例如：1,,22qam整个晶格象刚体一样作整体运动,因而恢复力为0,故长波极限，,0q0邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢复力和频率取极大值2,aqam2aa0q一维布拉菲晶格的色散关系曲线二、周期性边界条件考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。nNnxxNaLLsq2qaa)(tqnainAex又有N种取值22,2,,qaLaLaLq2波矢点在波矢空间（第一布里渊区、倒格子原胞）均匀分布1,,22NNS共有N种取值周期性边界下一维布拉菲晶格的色散关系曲线maxaa0qLa2周期性边界条件下，频率也相应有N个取值。在周期性边界条件的约束下，N个格点组成的一维布拉格晶格的振动模式数共有N种，由色散关系曲线中N组分立的决定。,q周期性边界下一维布拉菲晶格的色散关系曲线maxaa0qLa2三、色散关系周期性的物理意义：aa0q2sin2qam第一布里渊区a2a2122qa2252qa212qqa波矢相差倒格矢，晶格振动相同•••••波矢空间中，晶格振动模式（代表点）均匀分布。晶格的独立振动模式数等于N，等于晶体的自由度数。色散关系中一组对应一种格波，或振动模式。,q一维布拉菲晶格中原子振动的特解是格波)(tqnainAex周期性边界条件限制maxaa0qLa22sin2qam小结：有N种取值22,2,,qaLaLa2aMm2n2n+1§3.3一维复式格子的晶格振动一维复式格子（一维双原子链）对一维复式格子晶格振动的讨论是了解和描述大量三维复式晶格的重要基础。一、运动方程)2()2(1222212212122nnnnnnnnxxxxMxxxxm试解：])12([12)2(2tanqintnaqinBexAex2aMm2n2n+1采用简谐近似和最近邻原子作用近似波矢为，频率为的格波，同一原胞中的两个原子振幅不同。q齐次方程非零解条件qamcos22202cos22Mqa])2cos2()[(21222qamMMmMmmM代入运动方程0)2(cos20cos2)2(22BMqaAqaBAm——一维复式晶格中格波的色散关系称为一维复式晶格的第一布里渊区如mM，色散关系中存在频隙)(q2mmMMm)(22M2a2a0q一维复式晶格的色散关系曲线将q限制在：22qaa色散关系具有周期性，即一维复式晶格的倒格子原胞周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的一维双原子链首尾相接，形成无限长的一维链。则有Nnnxx222sLsNaq222)2(2tnaqinAex又1,,22NNS，共有N种取值有N种取值22,2,,222qaLaLa所以22qaa波矢的取值数=N（晶格原胞数）对每一个波矢q，有两类独立的振动振动模式数=2N（总自由度数）)(q2mmMMm)(22M2a2a0q称为声频支，相应的格波称为声学波M2,002cos22mqaBA）（)(q2mmMMm)(22M2a2a0q声学波])12([12)2(2tanqintnaqinBexAex相邻原子振动方向相同二、声频支和光频支Mm2n2n+10表示声频支在长波极限下，原胞内两个原子的振幅相同，且相邻原子振动位相差0qa振动情况一致.声频支在长波限描述了原胞的整体运动.长声学波与声波的性质类似，可近似连续介质的弹性波。)(qm2mMMm)(2M2a2a20q弹性波的色散关系cq(,0)q考虑长波极限22cos12qaABm（）称为光频支，相应的格波称为光学波mMMmm)(2,202cos22mqaBA）（)(q2mmMMm)(22M2a2a0q光学波])12([12)2(2tanqintnaqinBexAex相邻原子振动方向相反Mm2n2n+1(,0)q考虑长波极限2mMmM()ABMm0mAMB表明光频支在长波极限下，相邻原子反向振动，原胞质心保持静止。若是离子晶体，在电场作用下异号离子受力相反，可用光波来激发离子晶体中的这种长波振动。)(q2mmMMm)(22M2a2a0q波矢空间中，晶格振动模式（代表点）均匀分布。晶格的独立振动模式数等于2N，等于晶体的自由度数。色散关系中一组对应一种格波，或振动模式。,q周期性边界条件限制小结：有N种取值22,2,,222qaLaLa一维复式晶格中原子振动的特解是格波])12([12)2(2tanqintnaqinBexAex])2cos2()[(21222qamMMmMmmM)(q2mmMMm)(22M2a2a0q称为声频支，相应的格波称为声学波)(q2mmMMm)(22M2a2a0q声学波描述相邻原子振动方向相同的格波，振动频率较低。称为光频支，相应的格波称为光学波光学波描述相邻原子振动方向相反的格波，振动频率较高。一维晶格振动小结：1、简谐近似和最近邻原子作用近似原子之间的作用力近似为弹性力，且只受到最近邻原子作用。2、一维晶格中原子振动的特解是格波)(tqnainAex])12([12)2(2tanqintnaqinBexAex布拉菲晶格：复式晶格：一组确定的决定一种格波，或振动模式。,q3、格波的具体模式由色散关系确定一维布拉菲晶格m2aa0q)(q2mmMMm)(22M2a2a0q一维复式晶格第一布里渊区（倒格子原胞）的范围第一布里渊区内波矢点均匀分布，波矢点的取值波矢点的取值个数（原胞数），晶格的振动模式数（自由度数）,色散关系支数（原胞内自由度数）Lq2对于实际三维的晶体，上述的分析方法和结论是普适的。三维情形下，若基由n个原子组成，原胞内的原子共有3n