第二章-随机变量及其分布

广东工业大学下页上页返回第二章随机变量及其分布§1随机变量§2离散型随机变量及其分布律§3随机变量的分布函数§4连续型随机变量及其概率密度§5随机变量的函数的分布广东工业大学下页上页返回§1随机变量1、对于某些随机试验，其结果本身就是数量。例如::1E掷一颗骰子，观察出现的点数。其样本空间为：}6,5,4,3,2,1{1S将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。:2E其样本空间为：}3,2,1,0{2S在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。:3E其样本空间为：}0|{3ttS广东工业大学下页上页返回2、对于某些随机试验，其结果不是数量。例如::4E其样本空间为：},{4THS:5E其样本空间为：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。},,{5平负胜S为了处理方便，我们定义一个样本空间上的“函数”：THX出现出现,0,1负平胜,0,1,3Y这样定义在样本空间上的函数X，Y称为随机变量。广东工业大学下页上页返回随机变量的定义1RBS表示随机变量。，，，或，，，常用ZYX上的实值函数间是定义在样本空SX如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点e，都对应着一个实数X(e)，而X(e)又是随试验结果的不同而变化的一个变量，则称它为随机变量。eX广东工业大学下页上页返回例1掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况:),(1反面朝上e),(2正面朝上e若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有)(1反面朝上e)(2正面朝上e01)(eX0)(1eX1)(2eX即X(e)是一个随机变量.广东工业大学下页上页返回实例2在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:).,(),,(,),(),男男,(4321女女男女女男eeee若用X表示该家女孩子的个数时,则有,0)(1eX,1)(2eX,1)(3eX,2)(4eX可得随机变量X(e),.,2,,,1,,0)(4321eeeeeeeeeX广东工业大学下页上页返回几点说明(1)随机变量与普通的函数的区别随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.例掷一颗骰子，用X表示出现的点数。则有61}2{XP62}4{XP63}52{XP广东工业大学下页上页返回几点说明(1)随机变量与普通的函数的区别随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，使我们有可能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论。广东工业大学下页上页返回随机变量的分类根据随机变量的取值情况，把随机变量分为两类：1、离散型随机变量2、非离散型随机变量所有可能的取值为有限个或可列个。在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。非离散型随机变量范围很广，情况比较复杂，其中有一类是很重要的，也是实际中常遇到的随机变量，即连续型随机变量在整个数轴上取值或取某个实数区间的全部值。广东工业大学下页上页返回有些随机变量，它所有可能的取值只有有限个或可列无限多个，称这种随机变量为离散型随机变量。例1掷两颗骰子出现的点数和X，其所有可能的取值为2，3，4,…,12，共11个可能值。（离散型随机变量）例2某射手对活动靶进行射击，到击中为止，所进行的射击次数Y，其所有可能的取值为1，2，3,…，因无法断言最多射击几次就能定能命中目标，故合理地应认为其可能取值是可列无限多个。（离散型随机变量）一、离散型随机变量的定义§2离散型随机变量及分布律广东工业大学下页上页返回对于离散型随机变量，我们所关心的问题是什么呢？（1）随机变量所有可能的取值有哪些？（2）取每个可能值的概率是多少？二、离散型随机变量的分布律分布列设随机变量X所有可能的取值为,,,,21nxxx且取每一个可能值的概率为iipxXP}{,2,1i称（*）式为随机变量X的概率分布（或称为分布律）。（*）（*）式也可表为nnpppPxxxX2121广东工业大学下页上页返回二、离散型随机变量的分布律分布列设随机变量X所有可能的取值为,,,,21nxxx且取每一个可能值的概率为iipxXP}{,2,1i称（*）式为随机变量X的概率分布（或称为分布律）。（*）（*）式也可表为nnpppPxxxX2121三、离散型随机变量分布律的性质,0ip1、,3,2,1i11iip2、11niip特别地，当随机变量所有可能的取值为有限个时（如n个)，有广东工业大学下页上页返回例1已知离散型随机变量X的分布列为3.01021016.0321012aaaPX试求常数a。广东工业大学下页上页返回例2设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下时，它已能过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律。广东工业大学下页上页返回例3某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.广东工业大学下页上页返回例3某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X所有可能的取值为：P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1从而X的概率分布为：0、1、281.018.001.0210PX广东工业大学下页上页返回例4社会上定期发行某种体育彩票，每注2元，中奖率为p。某人每次随机购买1注，如果没有中奖下次再继续随机购买1注，直到中奖为至。求该人购买次数X的分布律。,2,1kppkXPk1)1()(具有如上分布律的随机变量X称为服从几何分布.广东工业大学下页上页返回1}{CXP＝例5若随机变量X所有可能的取值只有一个C，求X的分布律。解随机变量X的分布律为称为退化分布。广东工业大学下页上页返回三、几种重要的离散型随机变量（一）（0—1）分布设随机变量X所有可能的取值为0和1，其分布律为kkppkXP1)1(}{1,0k)10(p或写为ppPX110则称X服从参数为p的（0—1）分布。显然，若试验E只有两个可能的结果A与。A则在E上总可以定义一个（0—1）分布：发生当发生当AAX10此时，pAPXP)(}1{pAPXP1)(}0{广东工业大学下页上页返回2、伯努利试验只有两个可能结果A与的试验。A很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中某一特定结果是否发生感兴趣，因而也可将之归结为伯努利试验。1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。（二）伯努利试验、二项分布例明天的天气可以有多种情况，但若只关心明天是否下雨，则观察明天的天气（作为一次独立试验），其结果就只有两个：“下雨”或“不下雨”，因而可被看作是一个贝努利试验。广东工业大学下页上页返回2、伯努利试验只有两个可能结果A与的试验。A很多随机试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常常只对试验中某一特定结果是否发生感兴趣，因而也可将之归结为伯努利试验。1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。（二）伯努利试验、二项分布在实际应用上，经常要考察独立重复进行一伯努利试验的序列，并将这一独立重复的试验序列作为单独的一个复合试验来对待。这样的复合试验称为n重伯努利试验。广东工业大学下页上页返回2、伯努利试验只有两个可能结果A与的试验。A1、独立试验序列概型在相同条件下重复进行试验的数学模型。（二）伯努利试验、二项分布3、n重伯努利试验即n次独立重复的伯努利试验称为n重伯努利试验。每次试验中某事件A或者发生或者不发生，假定每次试验的结果与其它各次试验结果无关(即每次试验中事件A发生的概率都是p)，这样的一系列（比如n次）重复试验称为n重伯努利试验。广东工业大学下页上页返回例掷一枚硬币，其结果为A=“出现正面”或“出现反面”。A重复掷10次伯努利试验10重伯努利试验重复掷k次k重伯努利试验广东工业大学下页上页返回若在每次试验中，事件A发生的概率。pAP)(我们来求一下在n重贝努利试验中，事件A恰好出现k的概率。下面，广东工业大学下页上页返回knkppknkXP)1()(nk,,2,1,0pn,则称随机变量服从参数为的二项分布，X),(~pnBX记为特别，当n=1时的二项分布为分布10),1(pB2、二项分布若随机变量X的分布律为ppPX110广东工业大学下页上页返回例1按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批？产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只。问这20只元件中恰有k只为一级品的概率是多少广东工业大学下页上页返回例2某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。广东工业大学下页上页返回例3已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?广东工业大学下页上页返回例3已知发射一枚地对空导弹可击中来犯敌机的概率为0.96,问需在同样条件下发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?导弹数是随机变量枚导弹，则击中敌机的设需要发射解n，)96.0,(~nBX于是1n)96.01(999.0001.004.0nn15.2即从而001.0lg04.0lg枚导弹。，即需要发射取33n}1{XP广东工业大学下页上页返回例4设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在一次试验中出现的概率?例5设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服,95}1{XP求?}1{YP参数为（3，p）的二项分布，若广东工业大学下页上页返回例6一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共5道选择题，每题给出n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对3题以上从而及格的概率。广东工业大学下页上页返回例6一个完全不懂阿拉伯语的人去瞎蒙一个阿拉伯语考试。假设此考试共5道选择题，每题给出n个结果可选择，其中只有一个结果是正确的。试问他居然能答对3题以上从而及格的概率。解设此人答对的题数为X，则有)1,5(~nBX从而此人及格的概率为}3{XP23)1()1(35nnn)1()1(454nnn5)1(55n时，此值为当3n233231351432314505323155时，此值为当4n23434135144341450543415521.051253＝10.0广东工业大学下页上页返回例7设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修式人的方法，其一是由4人维护，每人负