圆的一般方程2(求轨迹方程)

4.1.2圆的一般方程xyaP(x,y)P(x,y)是直线a上任意一点0AxByC点P的坐标(x,y)满足的关系式CM(x,y)222)()(rbyaxM(x,y)是圆C上任意一点点M的坐标(x,y)满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系.如果某条曲线C是由动点M运动产生的，我们就称曲线C是点M的轨迹，曲线C的方程称为M的轨迹方程。注意：“轨迹”、“方程”要区分：(2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。(1)求轨迹方程，求得方程就可以了；轨迹和轨迹方程：求轨迹方程方法•1、直接法（直译法）•2、相关点法•3、定义法•4、几何法•5、交轨法问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？xyOC(a,b)M(x,y)P={M||MC|=r}圆上所有点的集合rbyax22)()((x-a)2+(y-b)2=r2设点M(x,y)为圆C上任一点，则|MC|=r。推导圆的标准方程例1、设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。0xyAB解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy化简综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.例1、设A，B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。一、直接法动点具有的几何条件比较明显时，由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．适用范围:任何情况直译法求曲线方程方程的一般步骤:设曲线上任意一点M的坐标为(x,y)建立适当的坐标系根据数量关系列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0化方程f(x,y)=0为最简形式检验：多退少补例2.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例2222222(,)(0)(0)12(3)(0)23064(9)0xyxyxyxyx解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx.O..（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法练习：已知两个点是Ａ(-1,-1)、Ｂ(3,7)，求到这两个点距离相等的点C的轨迹方程．ABC0xy答案：x+2y－7=0练习：两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.xy0MBA解:如图以直线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系(,)xy则A、B的坐标分别为(3,0)(3,0)、设M的坐标分别为(,)xy依题意得2226MAMB∴2222(3)(3)26xyxy化简整理得224xy∴点M的轨迹方程为224xy.变式：已知等腰三角形底边的两个端点是Ａ(-1,-1)、Ｂ(3,7)，求第三个顶点C的轨迹方程．ABC0xyx+2y－7=0，且不过点（1,3）注：求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来限制),不足的点要补充.例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yABMxo题目特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0),然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.步骤：1、设出所求点坐标(x,y)，以及相关的点的坐标(x0,y0),2、找出(x0,y0)所满足的关系式3、用(x,y)表示出(x0,y0)4、把(x,y)代入(x0,y0)的关系式，结论相关点法22(1)4xy2200(1)4xy解.设M的坐标为(x,y)A的坐标为(x0,y0)0043,22xyxy因为M是AB的中点即0024,23xxyy又点A在圆上代入得2233()()122xy即主动点被动点设主动点为(x0,y0)被动点为(x,y)所以M的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆33,22x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程整理得轨迹方程主被动点法22(241)(23)4xy练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标表示,利用代入法,代入圆的方程即可.0000002200222223,23,:,Mx,y,Px,y,x,yxy1,2x34y1,2,2.31().24xxxxyyyyxy解由题意设点的坐标为点的坐标为则又在圆上解:解法1:设点M的坐标为(x,y).∵M为线段AB的中点,∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.4042(,2220221(1),).1yxyxxPAPBkx1k1而整理得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A､B的坐标分别为(2,0)､(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB,∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M.∴|MP|=|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线.的中点坐标为(1,2),∴点M的轨迹方程是即x+2y-5=0.402,20OPkOP12(1),2yx在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做几何法。例3．已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。213MCAOyx解：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上任意一点，点M在曲线上的条件是||1||2MOMA3MCAOyx由两点间距离公式，上式用坐标表示为222212(3)xyxy两边平方并化简，得曲线的方程是x2+y2+2x－3=0.配方得(x+1)2+y2=4，所以曲线是圆心为(－1，0),半径为2的圆。EyxOCBA例4．已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程.解：由题意，以AB中点为原点，边AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图，则A(－a，0)，B(a，0),设C(x，y)，则BC中点为E(,)22xayEyxOCBA因为|AE|=m，所以22()()22xayam化简得(x+3a)2+y2=4m2.由于点C在直线AB上时，不能构成三角形，故去掉曲线与x轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2.(y≠0)0xyABC曲线的方程||||MBMAMP解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合2222)7()3()1()1(yxyx由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：x+2y－7=0③例1：如果A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点P到A,B的距离相等.你知道动点P的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？例2已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．2解：设｜PB｜＝r．∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10．∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r，即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10，2c＝｜AB｜＝6，∴a＝5，c＝3．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即点P的轨迹方程为＝1．222516xy解：例1：将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？yxo设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：22yxyyxx2//22yx因为＝４所以4422yx即1422yx1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。2）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；171622yx练习：1.三角形ABC的三边a、b、c成等差数列，A、C的坐标分别为（-1，0），（1，0），求顶点B的轨迹。)0(13422yyx练习2、一动圆过点B（-3，0），64)3(:22yxC内切，求该动圆圆心M的轨迹方程。而且与圆3-3xyMABC22115.(3,0):(3)4POxyMPO已知定点，定圆，动圆过点且与圆相切，求动圆圆心轨迹。)0(18,83,1,622,1M2221111xyxbcaOPMMPMOrMOrMPOMr动圆圆心轨迹：）为焦点的双曲线（左支在以外切与圆若动圆半径为解：设动圆XYMPO1O)0(18)0(18,83,1,622,2222221111xyxxyxbcaOPMMOMPrMOrMPOM综上：轨迹方程为：动圆圆心轨迹方程：）为焦点的双曲线（右支在以内切与圆若动圆XYMPO1O642-2-4-5510xoyAB变题1、已知圆，圆，若动圆与圆都相切，求动圆圆心的轨迹方程MAB、M1)5(:22yxA16)5(:22yxB（1）（2）（3）（4）19124y924x19124y924x17524y2524x17524y2524x642-2-4-5510xoyMAB8642-2-4-6-551015MAB642-2-4-6-10-5510BMA108642-2-4-551015MBA(X0)(X0)(X0)(X0)1)5(:22yxA16)5(:22yxB