两个重要极限和无穷小比较

第五节两个重要极限与无穷小的比较一、极限存在准则二、两个重要极限三、无穷小的比较注：准则1（夹逼准则）对A=也成立。一、极限存在准则准则1(夹逼准则)如果对自变量x的某个变化过程，f(x)、g(x)和h(x)满足下列条件:)(；从某时刻起)()()(xhxfxg(1),)(lim)(limAxhxg==有，对此过程(2)那末Atf=)(lim例1).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2=又,1=22111lim1limnnnnn=,1=由夹逼定理得.1)12111(lim222=nnnnn二、两个重要极限第一个重要极限1sinlim0=xxx)00(型)20(,p=xxAOB圆心角证：,O设单位圆ACxoBD作单位圆的切线,AOCD，得于是由AOBxsin21的面积DOBAx21的面积扇形,tan21xAOC的面积D证毕。,cossintansinxxxxx=得,1sincosxxx即也成立,此式对于x02p-时成立。从而当20px,xcoslimx10=又所以.1sinlim0=xxx注：在求与三角函数比有关的极限时常用到此极限。)00(型220)2(2sinlim21xxx=20)22sin(lim21xxx=.21=解例6求)n(m,nmtanlim0Zxxx解=nmtanlim0xxxnm/cosmsinlim0xxxxxxxxxcoslim/nmsinlim00=xxxxxcoslim/mmsinlimnm00=。nm=)00(型)00(型例5.cos1lim20xxx-求x2202sin2limxx=原式例7求arcsinlim0xxx解sinlim0yyyarcsinlim0xxx.1=xysinarc=例8求解2sin2lim1nnnx-0limn.2x)2/2sinlim2nnnxxx(;0=).(22sin2lim1xxxnnn=-)00(型)0(型00=,0时当=x=原式,0时当x=原式x1x2x3x1nxnx定义：满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列准则2(单调有界准则)单调有界数列必有极限.几何解释:AM注:此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。exxx=)11(lim第二个重要极限)(1型请共同看第17页的表格，观察其趋势。tttxxtxx)11(lim)1(lim110==exxx=10)1(lim.e=此外，因故还有注：常用此极限求幂指型函数的极限。例11.)11(limxxx-求解xxx--=)11(1lim1])11[(lim---=xxx原式.1e=例12.)23(lim2xxxx求解422)211(])211[(lim-=xxxx原式.2e=)(1型)(1型)(1型例13xxx21lim0求解=原式xxx1)21(lim0)(1型2021)21(lim=xxx20))21(lim(21xxx=.2e=例14xxxcsc0)sin1(lim求)(1型解=原式xxxsin10)sin1(limxtsin=ttt10)1(lim.e=三、无穷小的比较无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,,,022都是无穷小时当xxxxxx;2快得多比xx;sin大致相同与xx不可比.,0=,1=xx1sinlim0=.不存在观察各极限型）（0020limxxx;2慢得多比xx,=；记作高阶的无穷小是比，称如果)(,0lim)1(o==定义:.,穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与称如果=C.~;1lim记作是等价的无穷小与，称如果特殊地，=;lim)(低阶的无穷小是比，称如果２=，03lim20=xxx，1sinlim0=xxx高阶的无穷小，是比时，当xxx302；即)0()3(2=xxox).0(~sinxxx例1例２.1lim0xexx-求解xexx1lim0-1-=xeu)1ln(lim0uuuuuu10)1ln(lim1=eln1=.1=常用等价无穷小:时，当0x，xxxxxx~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin)0(~1)1(,21~cos1,~12---aaxxxxxeax.~1~)1ln(0xexxxx-，时，当例3求极限解30xxxxsintanlim-)cos1sincos1(lim20xxxxxx-=,21=2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx-=30xxxxsintanlim-例5.cos12tanlim20xxx-求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx-时当22021)2(limxxx=原式.8=例6.)cos1(2sinlim20xxarcx-求解=)cos1(2sinlim20xxarcx-)cos1(2lim20~sinarcxxxxx-=)cos)(1cos1(2lim0xxxx-=xxxxxcos11lim)cos1(2lim00-=)cos1lim(1lim020x~cos1221xxxxxx=-例7.2sinsintanlim30xxxx-求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx-=原式.0=解)cos1(tansintanxxxx-=-,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx=原式.161=错注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）.