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1．众数的定义一组数据中重复出现次数的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是，也可以是．2．中位数的定义及求法把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．最多一个多个最中间3．平均数(1)平均数的定义：如果有n个数x1、x2、…、xn，那么x＝，叫做这n个数的平均数．(2)平均数的分类：总体平均数：所有个体的平均数叫总体平均数．样本平均数：所有个体的平均数叫样本平均数．4．极差一组数据中称为这组数据的极差.x1＋x2＋…＋xnn总体中样本中最大值与最小值的差1．一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现的次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．2．一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．1．标准差的求法标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝.2．方差的求法标准差的平方s2叫做方差．s2＝．其中，xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数．1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]某班一学习小组的数学过关检测成绩如下：92,90,85,93,95,86,88,91问题：它的样本方差是多少？提示：10.5.3．标准差、方差的作用：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性．[例1]据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[思路点拨]先根据定义求出平均数，中位数及众数，然后利用各数据所反映样本数据的特点作出解答。[精解详析](1)平均数是x＝1500＋4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)平均数是x′＝1500＋28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×2033≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．[一点通]刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．1．(2012·郑州高一检测)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是()A．85、85、85B．87、85、86C．87、85、85D．87、85、90解析：由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为100＋95＋2×90＋4×85＋80＋7510＝87.答案：C2．高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人；(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么．解：(1)利用平均数计算公式x－＝148×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分．又因为女同学的中位数是80，所以至少有11人得分不超过80分．所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.[例2]甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛，得分如下：甲队：100,97,99,96,102,103,104,101,101,100.乙队：97,97,99,95,102,100,104,104,103,102.请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？[思路点拨]直接利用方差、标准差的公式计算，然后通过比较方差或标准差的大小得出结论．[精解详析]x－甲＝110(100＋97＋…＋100)＝100.3，x－乙＝110(97＋97＋…＋102)＝100.3，则s2甲＝110[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61，s2乙＝110[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21，所以甲队的标准差为s甲＝5.61≈2.37，乙队的标准差为s乙＝9.21≈3.03.由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此甲队在联赛中发挥更为稳定一些．[一点通]在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．3．(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析：5个数据的平均数x－＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.24．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数．甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商的交货时间短一些？哪个供货商的交货时间较具有一致性与可靠性？解：x甲＝110(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)，s2甲＝110[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋(11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49；x乙＝110(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5(天)，s2乙＝110[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋(11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05.从交货天数的平均数来看，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲供货商的交货时间较具有一致性与可靠性.[例3]样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是()A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组[思路点拨]可以从频率条形图分别得到四组样本数据，计算出标准差．[精解详析]第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．[答案]D[一点通]解决此类问题，一般有两种方法：(1)由图形得到对应的样本数据，计算出平均数、方差(标准差)；(2)从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小．此点可称为方差(标准差)的几何意义．5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x－8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是()A．甲B．乙C．丙D．丁解：由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．答案：C6．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x－甲，x－乙，则下列说法正确的是()甲乙982786586882913A.x－甲x－乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.x－甲x－乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.x－甲x－乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.x－甲x－乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛解析：由茎叶图可知，甲的成绩分别为72,78,79,85,86,92，乙的成绩分别为78,86,88,88,91,93，x－甲＝82，x－乙≈87，∴x－甲x－乙，又经计算得s2甲s2乙，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛．答案：D1．众数、中位数与平均数的异同：(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系．(3)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时其众数往往更能反映问题．(4)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．统计量的性质：(1)若x1，x2，…，xn的平均数是x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.3．方差与标准差的关系：(1)方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均距离．(2)方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但实际解决问题时一般采用标准差．