如何用matlab计算定积分-matlab求积分

用matlab计算积分4．1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数)(xf在区间],[ba上的积分定义为∑∫=→ΔΔ==niiixbaxfdxxfIi10)max()(lim)(x其中.,,2,1),,(,,1110nixxxxxbxxxaiiiiiin=∈-=Δ==--x从几何意义上说，对于],[ba上非负函数)(xf，记分值I是曲线)(xfy=与直线bxax==,及x轴所围的曲边梯形的面积。有界连续（或几何处处连续）函数的积分总是存在的。微积分基本定理（Newton-Leibniz公式）：)(xf在],[ba上连续，且],[),()('baxxfxF∈=，则有)()()(aFbFdxxfba-=∫这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求)(xf的定积分，需要找到一个函数)(xF，使)(xF的导数正好是)(xf，我们称)(xF是)(xf的原函数或不定积分。不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。多元函数的积分称为多重积分。二重积分的定义为∑∑∫∫ΔΔ=→Δ+ΔijjijiyxGyxfdxdyyxfii),(lim),(0)max(22hx当),(yxf非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。4．2积分的数值方法梯形法：将],[ba划分为若干小区间,.10bxxxan==则∑∫∫=-==nixxbaiidxxfdxxfI11)()(在每一小区间],[1iixx-上)(xf近似为一直线，用弦代替，有))()((2)(111iiiixxxfxfxxdxxfii+-≈--∫-从而∑=--+-≈niiiiixfxfxxI111))()((2称为梯形公式。通常将区间],[ban等分，ihaxnabhi+=-=,，∑-=-++=≈111))(2)()((niinxfafbfhTI可以证明，当∞→n时由上述公式给出的梯形法是收敛的。重积分：重积分的数值计算可通过若干次单积分的组合实现，如对于二重积分∫∫=GdxdyyxfI),(先化为二次计分∫∫=)()(),(xdxcbadyyxfdxI利用梯形法，先将],[ba区间m等分，.,,1,0,,miihaxmabhxix=+=-=利用梯形积分公式可得∑∫-==++≈11)()(.),()()),())()((21(mixdxciiixdyyxfxGxGbGaGhIii再将)](),([iixdxc区间n等分，.,,1,0),(,)()()(njijhaynxcxdihyijiiy=+=-=利用梯形积分公式可得∑-=++≈11)).,()))(,())(,((21)(()(njijiiiiiyiyxfxdxfxcxfihxG4．3积分的MATLAB命令MATLAB中主要用int进行符号积分，用trapz,dblquad,quad,quad8等进行数值积分。R=int(s,v)%对符号表达式s中指定的符号变量v计算不定积分.表达式R只是表达式函数s的一个原函数,后面没有带任意常数C.R=int(s)%对符号表达式s中确定的符号变量计算计算不定积分.R=int(s,a,b)%符号表达式s的定积分，a,b分别为积分的上、下限R=int(s,x,a,b)%符号表达式s关于变量x的定积分，a,b分别为积分的上、下限trapz(x,y)梯形积分法，x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值。fblquad(‘fun’,a,b,c,d)矩形区域二重数值积分，fun表示被积函数的M函数名，a,b分别为x的上、下限，c,d分别为y的上、下限.可以用helpint,helptrapz,helpquad等查阅有关这些命令的详细信息例1用符号积分命令int计算积分∫xdxxsin2.MATLAB代码为：clear;symsx;int(x^2*sin(x))结果为ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)如果用微分命令diff验证积分正确性，MATLAB代码为：clear;symsx;diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))结果为ans=x^2*sin(x)例2计算数值积分242xdx-∫.先用梯形积分法命令trapz计算积分∫-224dxx，MATLAB代码为：clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;%积分步长为0.1trapz(x,y)结果为ans=12.8533实际上，积分∫-224dxx的精确值为8.12564=。如果取积分步长为0.01,MATLAB代码为：clear;x=-2:0.01:2;y=x.^4;%积分步长为0.01trapz(x,y)结果为ans=12.8005可用不同的步长进行计算，考虑步长和精度之间的关系。一般说来,trapz是最基本的数值积分方法,精度低,适用于数值函数和光滑性不好的函数.如果用符号积分法命令int计算积分∫-224dxx，输入MATLAB代码为：clear;symsx;int(x^4,x,-2,2)结果为ans=64/5例3计算数值积分∫∫≤+++122)1(yxdxdyyx,可将此二重积分转化为累次积分∫∫∫∫----≤+++=++111112222)1()1(xxyxdyyxdxdyyx输入MATLAB代码为：clear;symsxy;iy=int(1+x+y,y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2));int(iy,x,-1,1)结果为ans=pi例4（广义积分）计算广义积分∫∞+∞--=dxxxI)50exp(sin2。输入MATLAB代码为：symsx;y=int(exp(sin(x)-x^2/50),-inf,inf);vpa(y,10)结果为15.86778263。