等差数列前n项和

泰姬陵泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大建筑奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？德国古代著名数学家高斯9岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？10012349899100321S=100+99+98+97+这两个等式上下对应项的和均为101,所以1011011011011011011002S1010010110010100,505021001002S即S因为有100个101,所以求和:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1)1(2nnS上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。2)1(nnS倒序相加法?nnan如何求等差数列的前项和S])1([)2()(1111dnadadaaSn])1([)2()(dnadadaaSnnnnn个（（（nnnnnaaaaaaS)))2111)1naan（2)1nnaanS（1231nnnSaaaaa等差数列的前n项和公式的其它形式2)1nnaanS（dnaan)1(1dnnnaSn2)11（公式与梯形面积：1ana1adn)1(2)(1naaSnn2)1(1dnnnaSnn分割成一个平行四边形和一个三角形两个公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是:公式（1）已知an,公式（2）已知d。已知三个量就可以求出Sn，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。n1aan=a1+(n-1)d(n-1)d等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1n150501a1a3,a101,S例在等差数列中，以知求11012a3,d,S.2（）以知求解：项和公式，得）根据等差数列前（n15021013S502600项和公式，得）根据等差数列前（n2212910310S102105思考：①在正整数列中，前n个奇数的和是多少？②在正整数列中，前n个偶数的和是多少？(22)(2)(1).2nnnSnn2(121)(1).2nnnSn解：例2等差数列－10，－6，－2,2，···前9项的和多少？解：设题中的等差数列为{an}则a1=－10，5442899)10(9S能用公式（1）计算吗？应用公式时，要根据题目的具体条件，灵活选取这两个公式。d=4,n=9变式等差数列－10，－6，－2,2，·······前多少项和是54？解:设题中的等差数列为{an},dnnnaSn2)11（得n2-6n-27=0故n1=9,n2=-3(舍去）。544·2)1(10nnn在等差数列的求和公式中，含有四个量，运用方程的思想，知三可求一.d=-4设Sn=54,则a1=-10,因此，等差数列－10，－6，－2，2·······前9项和是54。等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1211(1)()222nnnddSnadnann------关于的二次函数(不含常数项)21()22ddxan其图像是抛物线y=上的点(n,S),点的横坐标为正整数.(当公差d不为0时)222;(2)1..nnnnSnnann例3已知数列a的前项和为(1)S求;11当n=1时,a=S12nSann-1n=1S-Sn121212,,nnaaaaaann-1当n时,SS;nann-1S-S(1)43.31(2)22nnannann课堂小结等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法(关于n的二次函数)12nnSaannn-1n=1与S的关系:S-Sn