椭圆常见题型与典型方法归纳

1椭圆常见题型与典型方法归纳考点一椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,FF的距离的和等于常数1.22(2)aaFF的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,FF叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0e1)的动点M的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,FF距离的和等于常数1.22(2)aaFF的点的轨迹是线段12FF;当平面内与两个定点12,FF距离的和等于常数1.22(2)aaFF的点的轨迹不存在.例动点P到两个定点1F（-4，0）、2F（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）A、椭圆B、线段12,FFC、直线12,FFD、不能确定考点二椭圆的标准方程一标准方程1焦点在x轴上标准方程是：22221xyab（其中222,0).bacab焦点的坐标分别为(,0),(,0)cc2焦点在y轴上标准方程是：22221yxab（其中222,0).bacab焦点的坐标分别为(0,),(0,)cc3焦点位置判断哪项分母大焦点就在相应的轴上如求22179xy的焦点坐标4椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mxny（其中0,0mn）例已知椭圆过两点153(,1),(,2)42AB，求椭圆标准方程5与12222byax（a＞b＞0）共焦点的椭圆为12222kbykax二重难点问题探析:1.要有用定义的意识例已知12,FF为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若2212FAFB则AB=________。2.标准方程要注意焦点的定位例椭圆2214xym的离心率为12，m。2练习.1如果方程22xkyk表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为2点P在椭圆252x+92y=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点P的横坐标考点三椭圆的简单几何性质标准方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab图形范围,axabyb,ayabxb对称性关于原点对称x轴和y轴是椭圆的对称轴顶点(,0),(,0),(0,),(0,)aabb(,0),(,0),(0,),(0,)bbaa离心率(0,1)cea焦点(,0),(,0)cc(0,),(0,)cc焦距122FFc（其中222cab）长轴长2a短轴长2b准线方程2axc2ayc通径22bda二典型练习1.椭圆22143xy的长轴位于轴，长轴长等于；短轴位于轴，短轴长等于；焦点在轴上,焦点坐标分别是和；离心率e；左顶点坐标是;下顶点坐标是；椭圆上点的横坐标的范围是，纵坐标的范围是；00xy的取值范围是。2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率（2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e（3）若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e。考点四点、线与椭圆的位置关系MF2F1MF2F13一点00(,)pxy和椭圆22221(0)xyabab的位置关系（1）点00(,)pxy在椭圆外2200221xyab（2）点00(,)pxy在椭圆上2200221xyab（3）点00(,)pxy在椭圆内2200221xyab二.直线与椭圆的位置关系：1判断直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离02．弦长问题（1）步骤：由椭圆方程与直线l方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积（2）弦长公式直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(1x，1y)，B(2x，2y)两点，则①当直线的斜率存在时，弦长公式：2121xxkl=2122124)()1(xxxxk②当k存在且不为零时21211yykl2122124)(11yyyyk。三常用方法1设而不求法例经过椭圆22143xy的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B；（I）求线段AB的中点的坐标；（II）求线段AB的长2点差法例求椭圆1222yx中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.【小结】设12(,)Axy，22(,)Bxy是椭圆12222byax上不同的两点，且1x≠2x，1x＋2x≠0，00(,)Mxy为AB的中点，则两式相减可得2221212121abxxyyxxyy即．3．中点弦问题：例若椭圆193622yx的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为练习：设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|2FC|=|2FD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.4考点五焦点三角形的性质及应用一定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形设P(00,yx)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)1方法(1)定义：122rra＋＝(2)余弦定理：2221212(2)2coscrrrr＋－(3)面积1212011sin222pFFSrrcy2性质已知椭圆方程为),0(12222babyax左右两焦点分别为,,21FF在焦点△21FPF中，则⑴2tan221bSPFF⑵若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点⑶.21cos2e例已知椭圆)0(12222babyax的两焦点分别为,,21FF若椭圆上存在一点,P使得,120021PFF求椭圆的离心率e的取值范围。练习已知椭圆的焦点是1F(－1，0)、2F(1，0)，P为椭圆上一点，且｜12FF｜是｜1PF｜和｜2PF｜的等差中项⑴求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠12PFF＝120°求tan2FPF．考点六椭圆标准方程的求法一常用方法：1定义法，2待定系数法步骤①定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点位置设出相应方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数。3当椭圆过两定点时，其标准方程可设为221mxny(m＞0，n＞0)，二应用示例1．定义法例1已知ABC△的顶点BC，的坐标分别为(30)(30)，，，，AB边上的中线CE与AC边上的中线BF交于点G，且5GFGE，求点G的轨迹方程．例2求到两定点12(3,0),(3,0)FF的距离和等于10的点的轨迹方程．练习1已知B,C是两个定点BC长等于8，且△ABC的周长等于20，求顶点A的轨迹方程2已知△ABC三边AB,BC,CA的长成等差数列，且AB长大于CA长，点B,C的坐标为（-2，0），（2，0），求顶点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线53已知椭圆2221(5)25xyaa的两个焦点为,,21FF︳且128FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长4椭圆的两个焦点是)0,6(),0,6(，过点1,6(），求椭圆的方程。2待定系数法例已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x轴上时的标准方程．3．轨迹法例△ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0），（4,0）边AC,BC所在直线的斜率之积等于916，求顶点C的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；．三典型练习练习1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)25,23(；（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3，3）练习2.已知点P(3,4)是椭圆2222byax＝1(ab0)上的一点，12,FF是它的两焦点，若1PF⊥2PF，求(1)椭圆的方程(2)△21FPF的面积．3根据下列条件求椭圆的标准方程(1)和椭圆1202422yx共准线，且离心率为21．(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为534和532，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点考点七椭圆定义与性质的应用一定义的运用二椭圆的几何性质应用1、基础知识例对椭圆221259xy，求（1）画出草图（2）焦点，焦距（3）顶点，长轴的长，短轴的长，（4）离心率，（5）左右准线方程，（6）P是椭圆上动点，则P到左焦点的距离最值.练习求椭圆的标准方程（1）长轴是短轴的2倍，经过点（4，0）（2）一个焦点为（2，0），经过点（-3，0）（3）一个焦点为(2,0)，一条准线方程为4x（4）长轴在x轴上，一条准线方程是3x，离心率为5362离心率方法：求椭圆离心率e时，只要求出,,abc的一个齐次方程，再结合222abc就可求得e(0e1)．例若椭圆22x+my2=1的离心率是21，则m等于___2若A、B是椭圆)0(12222babyax上的两个顶点，F是右焦点，若BFAB，求椭圆的离心率。练习1设已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0)的右焦点为F,右准线为l.若过F且垂直于x轴的弦长等于点F到l的距离,求此椭圆的离心率.2已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率3(全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为12,FF，过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____4已知椭圆2230xmymm的离心率32e，求m的值12PFF的面积；若不存在，说明理由．