函数的一致连续性毕业论文

1引言1.1函数连续性定义设函数fx在点0x的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量00yfxxfx也趋于零，那么就称函数fx在点0x连续。设0xxx则0x就是0xx，000yfxxfxfxfx即0fxfxy可见0y就是0fxfx因此（1）式与0limxxfx0fx相当。所以，函数fx在点0x连续的定义又可叙述如下设函数fx在点0x的某一邻域内有定义，如果函数fx当0xx时的极限存在，且等于它在点0x处的函数值0fx即那么就称函数fx在点0x连续。由函数fx当0xx时的极限的定义可知，上述定义也可用“ε-δ”语言表达如下：设函数yfx在0x的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数，使得对于适合不等式0xx的一切x对应的函数值fx都满足不等式0fxfxε那么就称函数fx在点0x连续。1.2函数一致连续性定义定义设函数fx在区间I有定义,若ε0,δ0,1x,2x∈I|1x-2x|δ,有|12fxfx|ε,称函数fx在I一致连续。[１]对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题:(1)要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的δ不仅与ε有关,而且还与点0x有关,即对于不同的0x一般来说是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的仅与ε有关,与0x无关,即对不同的0x,是相同的。这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的(即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x,取决于0x和ε,而一致连续必须以区间为对象,只取决于ε,与点0x的值无关)。在区间I一致连续的函数在这个区间一定是连续的,事实上,由一致连续性定义将1x固定,令2x变化,即知函数fx在1x连续,又1x是I的任意一点,从而函数fx在I连续。但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如fx=1x在区间(0,1)就是如此。(2)函数一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即1x，2x∈I,当|12xx|δ时,就有|12fxfx|ε。(3)要注意函数一致连续的否定叙述。一致连续的否定就是非一致连续,即设函数fx在区间I有定义,且如果有00ε0,1x,2x∈I:|1x-2x|有|12fxfx|≥0ε则称函数fx在I非一致连续。2函数连续性与一致连续性的判定2.1函数连续性的判断在判断函数的连续性一般情况下我们都运用定义来判断函数的连续性定义1设函数yfx在点0x某个邻域内有定义，若0lim0xy，即000lim0xfxxfx，则称函数yfx在点0x处连续。[3]例1证明函数2yx在任意给定点0xR处都连续。证当x从0x处产生一个改变量x时,函数2yx的相应改变量为2220002yxxxxxx因为20limlim20xxyxxx所以2yx在给定点0x处连续.若记0xxx,则0x时，有0xx且y0fxx00fxfxfx,故0lim0xy可改写为00lim0xxfxfx即00limxxfxfx定义2如果函数yfx在区间I上每一点都连续，则称yfx在I上连续，并称I是fx的连续区间。[4]例2证明cosyx在,内连续。证设0x是内任意一点，当x从0x处取得改变量x时，0cosyxx002cos2sinsin22xxxx则212xyx,所以xyx又lim0xx所以lim0xy,故cosyx在点0x连续，由于0x为,内任意一点,故cosyx在,内连续。2.2函数一致连续性的判断函数的一致连续是函数的重要特征，它标志这一个连续函数的变化速度有无“突变”。对于一致连续来说不仅要求函数在区间上的没一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。即是说，对于人给的正数ε，要求存在一个与x物管的正数，使得对自变量任意两个值1x，2x，只要他们距离|1x-2x|，对应的函数值|12fxfx|0ε，显然，一致连续要比连续条件强，但是在一般的高等数学或者数学分析的教科书中，叙述很少，仅给出了一个定义和一个判定定理：在闭区间上连续的函数必在其上一致连续。2由于一致连续可以刻画出函数在一个区间上的全局性，有必要对它的判别及分布作进一步讨论。2.2.1一致连续函数的等价条件定理1函数f(x)在区间I上任意两个数列{nx}与{ny}。当limn(nx-ny)=0时limn[f(nx)-f(ny)]=0。[６]证明必要性显而易见,现仅给出充分性证明。假设()fx在I上非一致连续，即存在0ε0,存在对任意的，存在x,yI，且有|x-y|,使|()fx-()fy|0ε,取=1，存在1x，1yI|1x-1y|1，有|1()fx-1()fy|0ε，取=12，存在2x，2yI|2x-2y|，有|2()fx-2()fy|0ε….取=12，存在nx，nyI|nx-ny|1n，有|()nfx-()nfy|0ε…从而区间I上构造了两个数列{nx}与{ny}.显然limn（nx-ny）=0.但是limn[f(nx)-f(ny)]0与已知条件矛盾.于是，函数()fx在区间I上一致连续。推论函数()fx在区间I上不一致连续的充分条件是区间I上存在两个数列{nx}与{ny}.当limn（nx-ny）=0时，有limn[f(nx)-f(ny)]0。例1函数()fx=2sinx在R上不一致连续。证明令nx=22nxny=2nx而limn（nx-ny）=0，但是limn[f(nx)f(ny)]=limn[sin(2)2n-sin(2)n]=10由推论可知2sinx在R上不一致连续。2.2.2有限区间上一致连续函数的判定定理2函数()fx在,ab上一致连续的充要条件是()fx在,ab上连续.[5]定理3函数()fx在,ab上一致连续的充要条件是()fx在,ab上连续且,limxafx.limxbfx，都存在。[5].证明必要性因为函数()fx在区间,ab上一致连续，即对任意ε0.存在0，对任意x，y,ab|x-y|，有|()fx-()fy|ε.显然函数()fx在,ab上连续.且对任意ε0，存在0.对任意1x，2x,ab当1x，2x,aa时，当然|1x-2x|，有|1()fx-2()fx|ε.根据柯西收敛准则limxafx存在.同理可证limxbfx存在。充分性因lim,limxaxbfxfx都存在.分别设为A和B，构造函数显然Fx在,ab上连续，由定理2可知Fx在,ab上一致连续从而()fx在,ab上一致连续。推论1函数()fx在,ab上已知连续的充要条件是函数()fx在,ab上连续且limxafx存在。推论2若函数()fx在有限区间I上连续，单调有界，则函数()fx在I上一致连续。2.2.3无限区间上一致连续函数的判定定理4若函数()fx在,a,b上连续且limxa()fx，limx()fx（limxb()fx，limx()fx都存在，则()fx在,a（,b）上一致连续。推论1若函数若函数()fx在a,b上连续，且limx()fx存在则则函数()fx在a,b上一致连续。推论2若函数()fx在,上连续且limx()fx，lim()xfx都存在，则()fx在,上一致连续.反之不成立，例如()fx=sinx在,上一致连续，但limx()fx，lim()xfx都不存在。推论3若函数()fx在区间I上有定义，曲线：yfx存在垂直渐近线，则()fx在区间I上不一致连续。定理5若函数()fx在区间I上有定义，对,xI()fx，()fx都存在且有界，且有有限个∩点，则()fx在区间I上一致连续。证明不妨设I=,，因()fx在区间I上任意一点的左右导数都存在，则()fx在区间I上连续，只有有限个角点，分别设为1x，2x，...kx，kN，记(1,2,3,...)(1,2,3,...)min(),min()iiIkIkmxnx.,=,1m2,2mm1,n()fx在2,2mm上连续，必一致连续，而()fx在1,n上可导，且'fx有界，0M，x1,n，|'fx|M,12,xx1,n，不妨设12xx，()fx在12,xx上可导，由拉格朗日中值定理知1,2xx，21fxfx='12fxx从而|21fxfx|12||Mxx,εε0,M,12||xx,|2fx1fx|ε则()fx在1,n上一致连续。同理()fx在,1m上一致连续，由已知连续性质知()fx在,上一致连续。该定理的条件减弱也可能成立，例如()fx=|sinx|，xR上任意一点的左右导数都存在且有界，虽有无限个角点,xkkz，也有()fx=|sinx|在R上一致连续.反之不成立.例如fxx在0,上的导数无界。定理6若函数a,b上连续，存在常数0kk，且lim([xkx])fx=limxkxfxl则函数()fx在a,b上一致连续。证明令Fxkxfx，Fx在a上连续，且limxFxl.由定理4的推论2知Fx在a上一致连续，而kx显然在a上一致连续，()fx=kx—Fx，由一致连续的性质，函数()fx在a上一致连续。推论1若函数()fx在,上连续，存在常数0kk，且lim([xkx])fx=l，则函数()fx在,上一致连续。推论2若函数()fx在a,b上连续且曲线：yfx存在不垂直于x轴的渐近线，则函数()fx在a,b上一致连续。推论3若函数()fx在,上连续且任意aR曲线：yfx，x[,a)与曲线：yfx，同时存在不垂直于x轴的渐近线，则函数()fx在,上一致连续。例2函数()fxarctgx在,上连续，且在,0x和0,x同时存在水平渐近线，则artgx在,上一致连续。例3函数()fx=3223xxx，2,x上连续，且存在渐近线2yx，则()fx在2,上一致连续。反之不成立，例如()fx=sinx在,上一致连续.，但是不存在斜渐近线。综上所述，关于一致连续函数在平面上的分布，可归纳一下几种情况：①对于有线区间上的一致连续函数，由于有界性，所以它必包含在一个矩形之内，矩形的边平行于坐标轴；②对于无