微积分基本定理

1/15同步课程˙微积分基本定理一、初等函数的导数公式表()yfx()yfxyc0ynyx()nN1nynx，n为正整数yx(0,0,)Q1yx，为有理数xya(0,1)aalnxyaalogayx(0,1,0)aax1lnyxasinyxcosyxcosyxsinyx注：lnlogeaa，称为a的自然对数，其底为e，e是一个和π一样重要的无理数2.7182818284e．注意()xxee．二、导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()fx，()gx是可导的，则(()())()()fxgxfxgx，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．⑵函数积的求导法则：设()fx，()gx是可导的，则[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()CfxCfx，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：设()fx，()gx是可导的，()0gx，则2()()()()()()()fxgxfxfxgxgxgx．微积分基本定理知识回顾2/15同步课程˙微积分基本定理特别是当()1fx时，有21()()()gxgxgx．一、函数定积分设函数()yfx定义在区间[,]ab上．用分点0121nnaxxxxxb，把区间[,]ab分为n个小区间，其长度依次为10121iiixxxin，，，，，．记为这些小区间长度的最大值，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i，作和式10()nniiiIfx．当0时，如果和式的极限存在，我们把和式nI的极限叫做函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记作()bafxdx，即100()lim()nbiiaifxdxfx．其中()fx叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．()fxdx叫做被积式．此时称函数()fx在区间[,]ab上可积．二、曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数()yfx在区间[]ab，上的定积分，即()baSfxdx．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间ab，中插入1n各分点，将它们等分成n个小区间1iixx，12in，，，，区间1iixx，的长度1iiixxx，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限．三、求积分与求导数互为逆运算()()()baFxdxFbFa，即()Fx从a到b的积分等于()Fx在两端点的取值之差．知识讲解y=f(x)Oyxba3/15同步课程˙微积分基本定理四、微积分基本定理如果()()Fxfx，且()fx在[,]ab上可积，则()()()bafxdxFbFa，其中()Fx叫做()fx的一个原函数．由于[()]()Fxcfx，()Fxc也是()fx的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[,]ab上的改变量()()FbFa简记作()baFx，因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaafxdxFxFbFa．【例1】根据定义计算积分11xdx．【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故11121112xdx．【答案】1【例2】根据定义计算积分2204xdx．【解析】所求定积分为圆224xy在x轴上半部的半圆的面积，故222014π22π2xdx．【答案】2π【例3】求定积分120(1(1))xxdx．【解析】11122000(1(1))1(1)xxdxxdxxdx，设21(1)yx，则22(1)1(0)xyy≥，∵1201(1)xdx表示以1为半径的圆的四分之一面积，∴120π1(1)4xdx．又易知1012xdx，因此120π2(1(1))4xxdx．【答案】π24【例4】由cosyx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．【解析】可以表示为π3π2π2π223ππ0022|cos|dcosd(cos)dcosdxxxxxxxx．4/15同步课程˙微积分基本定理y2x1O【答案】π3π2π2π223ππ0022|cos|dcosd(cos)dcosdxxxxxxxx【例5】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（）A．()ddafxxB．()ddafxxC．()d()d()dbcdabcfxxfxxfxxD．()d()d()dbcdabcfxxfxxfxxOyxdcba【解析】由图可知，选D．【答案】D【例6】求曲线sinyx以及直线π2x，5π4x，0y所围成的图形的面积S．【解析】因为πsin02|sin|sin0π5πsinπ4xxxxxxx，≤，，≤≤，，≤，所以由公式可知，5π5π0π44ππ0π2205ππ2|sin|d(sin)dsind(sin)dcoscoscos44π02π2Sxxxxxxxxxxx．【答案】242【例7】已知函数()sinfxx，⑴试用定积分表示sinyx与x轴围成的介于πx与πx之间的平面图形的面积；⑵结合sinyx的图象猜出ππ()dfxx的值；5/15同步课程˙微积分基本定理⑶试将上述问题推广到一般的情况．【解析】⑴由定积分性质可知，sinyx与x轴围成的介于πx与πx之间的平面图形的面积πππ0|()|d2sindSfxxxx；⑵ππ()d0fxx；⑶已知()fx在[]aa，上连续，①当()fx为偶函数时，有0()d2()daaafxxfxx；②当()fx为奇函数时，有()d0aafxx．【例8】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t和1t，下列判断中一定正确的是（）A．在1t时刻，甲车在乙车前面B．1t时刻后，甲车在乙车后面C．在0t时刻，两车的位置相同D．0t时刻后，乙车在甲车前面t1t0v甲v乙tv(t)O【解析】甲、乙所行驶的路程0tsvdt甲甲、0tsvdt乙乙，由图像可知，曲线v甲比v乙在00~t、10~t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，ss乙甲，即甲车均在乙车前面，选A．【答案】A【例9】3dx1cosxx（）A．1B．1C．0D．2【解析】31cosxx为奇函数，积分区间[π,π]关于原点对称，故3dx01cosxx．【答案】C【例10】函数()yfx的图象与直线,xaxb及x轴所围成图形的面积称为函数()fx在[,]ab上的面积，已知函数sinynx在[0,]n上的面积为*2()nnN，6/15同步课程˙微积分基本定理则函数sin3yx在2[0,]3上的面积为_____________．【解析】sin3yx在π[0,]3上的面积为23，又此函数的一个周期为2π3，故在π2π,33上的面积也为23．【答案】43【例11】50(21)xdx______．【答案】30【例12】20(2)xxedx___________．【答案】25e【例13】2231111dxxxx（）A．7ln28B．7ln28C．5ln24D．1ln28【解析】223212111111lnln2128dxxxxxxx．【答案】D【例14】曲线3πcos02yxx≤≤与坐标轴围成的面积是（）A．4B．52C．3D．2【解析】3ππ3π222π0023ππ2cosdcosd(cos)dsinsin1(2)32π02xxxxxxxx．【答案】C【例15】121(||)xxdx．【解析】110221011(||)d2d0d10xxxxxxx．【答案】17/15同步课程˙微积分基本定理【例16】由曲线24yx、直线1x、6x和x轴围成的封闭图形的面积为．【解析】由定积分的定义知，此封闭图形的面积为621644210d4133xxx．【答案】103【例17】设函数2()(0)fxaxca．若100()d()fxxfx，001x≤≤，则0x的值为________．【解析】1232001()d033aaaxcxxcxcaxc，于是有2013x，又001x≤≤，故033x．【答案】33【例18】已知π0sincosdaxxx，则二项式61axx展开式中含2x项的系数是．【答案】192【例19】π20sincos2xaxdx，则实数a．【解析】π20πsincos(cossin)(1)1220xaxdxxaxaa，故1a．【答案】1【例20】121dx1ex_______．【解析】121dx1ex1ln(1)ln12exe【答案】1【例21】已知2()fxaxbxc，且(1)2f，(0)0f，10()2fxdx，求a、b、c的值．【解析】由(1)2f，得2abc，……①又()2fxaxb，由(0)0f，得0b……②1123210001()()23232babfxdxaxbxcdxaxxcxc……③由①②③得：604abc，，．【答案】604abc，，8/15同步课程˙微积分基本定理【例22】已知函数0()sindafaxx，则π2ff（）A．1B．1cos1C．0D．cos11【解析】0()sind(cos)1cos0aafaxxxa，于是π12f，π(1)1cos12fff．【答案】B【例23】试用定积分表示由直线yx，1yx，及y轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【解析】112220011[(1)]d(12)d()240xxxxxxx．【答案】14【例24】从如图所示的长方形区域内任取一个点()Mxy，，则点M取自阴影部分的概率为．31Oxy=3x2y【解析】这是一个几何概型的问题，所求概率312013dx01333xxP．【答案】13【例25】由曲线2yx，3yx围成的封闭图形面积为（）A．112B．14C．13D．712【解析】如图，封闭图形的面积为34123011()dx03412xxxx．9/15同步课程˙微积分基本定理Oyx【答案】A【例26】设函数()yfx的定义域为R，若对于给定的正数K，定义函数,()()(),()KKfxKfxfxfxK≤，则当函数1(),1fxKx时，定积分214()kfxdx的值为（）A．2ln22B．2ln21C．2ln2D．2ln21【解析】由题设111,1()11,1xfxxx≤，于是定积分212121111114441()1ln2ln21fxdxd