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第一部分知识梳理第28课时尺规作图第七章尺规作图及图形变换知识梳理方法规律1.作一条线段等于已知线段作法步骤：（1）作一条射线AC；（2）在射线上截取和已知线段a一样长的线段AB，如图7-28-1.2.作一个角等于已知角作法步骤：（1）作射线O′A′；（2）以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；（4）以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′；（5）过D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即是所求作的角，如图7-28-2.3.作一个角的平分线作法步骤：（1）用圆规在OA,OB边上分别截取等长的两线段OD，OE；（2）分别以点D，E为圆心，以相同半径画弧，两弧交点为点C；（3）连接OC，则射线OC即是∠AOB的平分线，如图7-28-3.4.作一条线段的垂直平分线作法步骤：（1）分别以线段的两个端点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点C和点D；（2）连接CD，则直线CD即是线段AB的垂直平分线，如图7-28-4.5.过一点作已知直线的垂线作法步骤：（1）点O在直线l外①以点O为圆心，以大于点到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A,B两点.②分别以点A,B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，在AB的上方或下方交于C点.③连接CO，则直线CO即是线段AB的垂线，如图7-28-5.（2）点O在直线l上①以点O为圆心，以任意距离为半径作弧，交直线l于A,B两点.②分别以点A,B为圆心，以大于①中圆半径的长为半径作弧，在AB的上方或下方交于C点.③连接CO，则直线CO即是线段AB的垂线，如图7-28-6.中考考点精讲精练考点1基本作图(5年5考）典型例题1.如图7-28-7,已知ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC的延长线于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．（1）解：如答图7-28-1，AF即为所求．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．∴CE=CF．2．如图7-28-8，在四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC．（1）用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD,BC于点E,F；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．图7-28-8（1）解：如答图7-28-2，EF即为所求．（2）证明：如答图7-28-2，连接DF．∵AD∥BC，∴∠ADE=∠EBF．∵AF垂直平分BD，∴BE=DE．在△ADE和△FBE中，∴△ADE≌△FBE（ASA）．∴AE=EF．∴BD与AF互相垂直且平分．∴四边形ABFD为菱形．3.如图7-28-9，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．4．如图7-28-10，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于点O，交AE于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．解：（1）如答图7-28-4，BO即为所求．（2）AB=AD=BC．证明如下：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠BCA．∵AC平分∠BAE，∴∠EAC=∠BAC．∴∠BCA=∠BAC．∴BA=BC．∵BD⊥AO，AO平分∠BAD，∴AB=AD．∴AB=AD=BC．5.如图7-28-11，在ABCD中，AD＞AB．（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD边上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）判断四边形ABEF的形状，并说明理由．考点演练解：（1）如答图7-28-5,AE即为所求．（2）四边形ABEF是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∴∠BAE=∠AEB．∴BE=AB．由（1）得AF=AB，∴BE=AF．又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AF=AB，∴ABEF是菱形．6．如图7-28-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4.（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为点E，交BC于点D;（保留作图痕迹，不写作法）（2）求△ABD的周长．解：（1）如答图7-28-6，DE即为所求．（2）∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC．∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=7．7.如图7-28-13，在△ABC中，D是AC上的一点．（1）以AD为一边，在△ABC内求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AB于点E;（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若AB=4，AD=1，BC=3，求DE的长．解:（1）如答图7-28-7，∠ADE即为所作．（2）∵∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC．8.如图7-28-14，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求CD的长．解：（1）如答图7-28-8,CD即为所求．考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度中等.解答本考点的有关题目，关键在于掌握尺规作图的基本步骤.注意以下要点：基本作图共有5种类型：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的角平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线.考点2作三角形、作圆(5年未考）典型例题1.如图7-28-15,已知线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．2.如图7-28-16，已知在△ABC中，∠A=90°.（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积.解：（1）如答图7-28-10，⊙P为所求作的圆.（2）∵∠B=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°.考点演练3.如图7-28-17，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.（1）求作⊙O，使它过点A,B,C；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧BC的长l．4.如图7-28-18，已知△ABC，∠B=40°.（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F；（保留痕迹，不必写作法）（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数.解：（1）如答图7-28-12，⊙O即为所求.（2）如答图7-28-13，连接OD，OE,∴OD⊥AB，OE⊥BC.∴∠ODB=∠OEB=90°.∵∠B=40°，∴∠DOE=140°.∴∠EFD=70°.考点点拨：本考点的题型一般为解答题，难度中等偏难.解答本考点的有关题目，关键在于掌握作圆的基本步骤.注意以下要点：（1）利用全等作三角形；（2）以角平分线或垂直平分线的交点为圆心，确定半径作圆.广东中考1.（2018广东）如图7-28-19，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°.（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E，交AD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BF，求∠DBF的度数．解：（1）如答图7-28-14，直线EF即为所求．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°．∴∠C=∠A=30°．∵EF垂直平分线段AB，∴AF=FB．∴∠A=∠FBA=30°．∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=45°．2.（2017广东）如图7-28-20，在△ABC中，∠A＞∠B.（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数.解：（1）如答图7-28-15.（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE.∴∠EAB=∠B=50°.∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°.3.（2016广东）如图7-28-21，已知在△ABC中，D为AB的中点.请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE.（保留作图痕迹，不要求写作法）图7-28-21解：如答图7-28-16，作线段AC的垂直平分线MN交AC于点E，点E就是所求的点.4.（2015广东）如图7-28-22，已知锐角三角形ABC.图7-28-22（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=3/4，求DC的长.5.（2014广东）如图7-28-23，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系.（不要求证明）