2.3-条件概率与独立事件-课件(北师大选修2-3)

返回返回返回100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．返回问题1：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)．提示：P(A)＝93100，P(B)＝90100，P(A∩B)＝85100.问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格概率．提示：若用A|B表示上述事件，则A|B发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝8590.返回问题3：如何理解问题2?提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B发生的条件下事件A发生．问题4：试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系．提示：P(A|B)＝PA∩BPB.返回条件概率(1)概念事件B发生的条件下，A发生的概率，称为的条件概率，记为．(2)公式P(A|B)＝(其中，A∩B也可记成AB)．(3)当P(A)0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.B发生时A发生P(A|B)PA∩BPBPABPA返回有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝{从甲箱里摸出白球}，B＝{从乙箱里摸出白球}．问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响．返回问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)．提示：P(A)＝35，P(B)＝12，P(AB)＝3×25×4＝310.问题3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？提示：P(AB)＝P(A)·P(B)＝35×12＝310.问题4：P(B|A)与P(B)相等吗？提示：相等，由P(B|A)＝PABPA＝12，可得P(B|A)＝P(B)．返回独立事件(1)概念：对两个事件A，B，如果，则称A，B相互独立．(2)推广：若A与B相互独立，则A与，A与，A与也相互独立．(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝．P(AB)＝P(A)P(B)BP(A1)P(A2)…P(An)BB返回1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)，其值不一定等于P(B)．2．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．返回返回[例1]一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[思路点拨]先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．返回[精解详析](1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．∴P(A)＝2×34×3＝12，P(AB)＝2×14×3＝16.∴P(B|A)＝PABPA＝13.返回(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸到白球为事件A1B1.∴P(A1)＝2×44×4＝12，P(A1B1)＝2×24×4＝14.∴P(B1|A1)＝PA1B1PA1＝1412＝12.故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.返回[一点通]求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝nABnA，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝PABPA，特别要注意P(AB)的求法．返回1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)＝()A.12B.15C.25D.35返回解析：P(B)＝56，P(A∩B)＝13，P(A|B)＝PABPB＝1356＝25.答案：C返回2．已知P(A|B)＝12，P(B)＝13，则P(AB)＝________.解析：∵P(A|B)＝PABPB，∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝12×13＝16.答案：16返回3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？返回解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)＝PABPB＝0.120.18≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)＝PABPA＝0.120.2＝0.60.返回[例2]分别掷甲、乙两枚均匀的硬币，令A＝{硬币甲出现正面}，B＝{硬币乙出现正面}，验证事件A，B是相互独立的．[思路点拨]判定两复杂事件是否独立应借助定义判断，即判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，再作出结论．返回[精解详析]掷甲、乙两枚硬币的所有可能情形为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．事件A中含2个基本事件，事件B中含2个基本事件，事件AB中含1个基本事件．∴P(A)＝24＝12，P(B)＝24＝12，P(AB)＝14.∴P(AB)＝P(A)P(B)．∴事件A，B是相互独立的．返回[一点通](1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．返回4．若A与B相互独立，则下面不是相互独立事件的是()A．A与AB．A与BC.A与BD.A与B解析：当A，B相互独立时，A与B，A与B以及A与B都是相互独立的，而A与A是对立事件，不相互独立．答案：A返回5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立．解：抽到老K的概率为P(A)＝452＝113，抽到红牌的概率P(B)＝2652＝12，故P(A)P(B)＝113×12＝126，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝252＝126，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件.返回[例3](10分)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大？返回[思路点拨]若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立．[精解详析]记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13(3分)设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．返回(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110(5分)(2)三人都不合格的概率：P0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝35×14×23＝110(7分)返回(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.结合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．(10分)返回[一点通](1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．返回6．先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为________．答案：14返回7．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12和P，且乙投球2次均未命中的概率为116.求：(1)乙投球的命中率P；(2)甲投球2次，至少命中1次的概率．返回解：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，则A，B相互独立．(1)法一：由题意，得(1－P(B))2＝(1－P)2＝116.解得P＝34或P＝54(舍去)．∴乙投球的命中率为34.返回法二：由题意，得P(B)·P(B)＝116.∴P(B)＝14或P(B)＝－14(舍去)，∴P(B)＝1－P(B)＝1－14＝34.即乙投球的命中率为34.返回(2)由题意知，P(A)＝12，P(A)＝12.法一：甲投球两次，至少命中一次的概率为1－P(A·A)＝1－P(A)P(A)＝1－12×12＝34.法二：甲投球两次，至少命中一次的概率为P(AA＋AA＋AA)＝P(AA)＋P(AA)＋P(AA)＝12×12＋12×12＋12×12＝34.返回8．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率；(2)第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率．解：记“第一次取出的2个球都是白球”事件为A，“第二次取出的2个球都是红球”为事件B，“第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球”为事件C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．返回(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝C23C25·C22C25＝310·110＝3100.故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝C13C12C25·C23C25＝610·310＝950.故第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率是950.返回1．计算条件概率要明确：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．返回2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系名称区别联系定义事件个数互斥事件在一次试验中不能同时发生的事件两个或两个以上①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；②两事件独立，则不一定互斥(或对立)；③两事件互斥(或对立)，则不相互独立对立事件在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件两个独立事件一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个或两个以上返回点击下图