空间解析几何复习重点

（一）向量代数向量的表示方向余弦内积外积混合积向量的分解式：},,{zyxaaaa.,,,,轴上的投影分别为向量在其中zyxaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,,向量的坐标表示式：向量的坐标：zyxaaa,,3、向量的表示法222||zyxaaaa向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa222coszyxyaaaa222coszyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(2224、数量积cos||||baba其中为a与b的夹角(点积、内积)zzyyxxbabababa数量积的坐标表达式ba0zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式5、向量积sin||||||bac其中为a与b的夹角c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.(叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式bazyxzyxbbbaaakjibaba//zzyyxxbababa][cbacba)(zyxzyxzyxcccbbbaaa6、混合积•重点•1-2，1-4，1-5（二）直线和平面方程平面方程直线方程平面与直线位置关系距离、夹角异面直线平面束平面的点位式方程0001112220xxyyzzXYZXYZ0DCzByAx平面的一般方程0000zzZyyYxxX已知一个平面过空间中的一点且其法向量为则平面的点法式方程为：ZYXn,,0000,,zyxMpzznyymxx000直线的对称式方程ptzzntyymtxx000直线的参数方程0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程平面与直线位置关系•直线与平面平行•平面与平面平行•两直线异面的判定平面束•定理2.3.1设两个平面交于一条直线，则以为轴的共轴平面束方程是其中是不全为零的任意实数.1111122222:0,:0AxByCzDAxByCzD111122220,AxByCzDAxByCzD,l适用于求过已知直线的平面方程距离、夹角推论2：点),,(0000zyxM与平面0DCzByAx之间的距离为222CBADCzByAxd点到直线的距离Mv0Md图2.8l0.MMdvv•两异面直线之间的距离121212,,.MMdvvvv2l1l1v1M2M2vd1P2P图2.120111111ZYXZYXzzyyxx0222222ZYXZYXzzyyxx公垂线方程2l1l212v1v2M1Ml12vv图2.10异面直线例2.4.5试求直线在平面上的射影直线方程，并求与的夹角.解直线的方向向量为为简单起见，取为又平面的法向量依公式(2.4.9)，直线与平面的夹角满足10,:10xyzlxyz:0xyzll1,1,11,1,120,1,1l6sin.3nvnv6arcsin.3所以1,1,1.v1,1,1.n下面求直线在平面上的射影直线方程.l以直线为轴的平面束方程为即在平面束中找一个平面与平面垂直，那么依两平面垂直的条件，有解得，于是经过直线且与平面垂直的平面方程为所求的射影直线方程为l110,xyzxyz0,xyz1110,:1:1l10,yz0,10.xyzyz•重点、难点•2-4（三）常见的曲面柱面方程锥面方程旋转曲面方程曲线族生成的曲面直纹曲面柱面由它的准线和母线方向所确定柱面方程,,,,,,.xxyyzzlmnFxyzGxyz图3.1.锥面由它的准线和顶点所确定锥面方程设点不是顶点,则点在锥面上当且仅当由点与所确定的直线必与准线相交于某点,因此(3.2.3),,Pxyz,,Pxyz,,,,,,.xxyyzzxxyyzzFxyzGxyz0P0PPP.旋转曲面方程点当且仅当存在点,使得点位于过点的纬圆上,因此有从上述方程组中消去,便得到旋转曲面的一般方程.Px,y,zS1111Px,y,z(3.3.1)222222000101010111111111,0,0,0.xxyyzzxxyyzzlxxmyynzzFx,y,zGx,y,zP1P111,,xyzSP1P0OXYZ五种常见的二次曲面1222222Czbyax1222222czbyax1222222czbyaxzqypx2222zqypx2222（与同号）pq22=164xyz3241=0xyz习题4在双曲抛物面上,试求平行于平面的直母线方程.解族直母线的方向向量为依题意,于是是所求的一条直母线.,4242xyxyz11,,.244113240,24421211xyz42212xyz2(此时).同法可求出属于族的另一条直母线为直纹曲面解在已知二直线上分别取点和其中是参数，于是动直线方程为因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令,有故得，代入中得(,,)c(,,)c,(3.4.8).xyzccxy,xyxyc.c0z,(3.4.9),yzc,()xzcc,xycz例3.4.7求与两直线与均相交，且与双曲线也相交的动直线所产生的曲面方程.消去参数即得所求曲面方程为.zxyc曲线族生成曲面重点柱面方程锥面方程旋转曲面方程曲线族生成的曲面直纹曲面五种常见的二次曲面（四）二次曲面的一般理论坐标变换利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简二次曲面的方程坐标变换111213212223313233,,,,,ijkijkccccccccc1112130212203132330,,.xcxcyczxycxcyczyzcxcyczz23++++++课后作业：P1221,3,5选做：94-2课件、作业。。。