直线系方程及其巧妙应用

直线系方程及其巧妙应用江苏韩文美1．命题的给出命题：设点00()Pxy，在直线0AxByC（其中AB，不全为零）上，则这条直线的方程可以写成00()()0AxxByy．这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线00()()0AxxByy表示的是过点00()Pxy，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2．命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．例１过点(14)P，作圆22(2)(3)1xy的切线l，求切线l的方程．解：设所求直线l的方程为(1)(4)0AxBy（其中AB，不全为零），则整理有40AxByAB，∵直线l与圆相切，∴圆心(23)C，到直线l的距离等于半径1，故222341ABABAB，整理，得(43)0AAB，即0A（这时0B），或304AB．故所求直线l的方程为4y或34130xy．（2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（0m）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性．例2求过点(34)M，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：设所求直线方程为(3)(4)0AxBy（其中AB，不全为零）．显然，当0A或0B时，所得直线方程不满足题意．故AB，均不为零．当0x时，34AyB；当0y时，43BxA．根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则3443ABBA，令AzB，则13443zz，整理，得23740zz，解得1z，或43z，则0AB，或403AB，故所求直线方程为10xy，或430xy．编者的话：利用过点00()Pxy，的直线系方程00()()0AxxByy（其中AB，不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．下面我们用这个方法来做两道相关的题目．练习：1．求过原点且与直线1:310lxy成30°角的直线方程l．2．在过点(35)P，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程．答案：1．0x，或30xy2．35340xy．