直线的方程和两条直线的位置关系

直线的方程和两条直线的位置关系【考纲要求】1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；5、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。【知识网络】【考点梳理】考点一：直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角（如图）：要点诠释：（1）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.（2）直线l的倾斜角的取值范围是：000180（或0)2．直线的斜率直线l的倾斜角的正切值叫做此直线的斜率，记作tank。要点诠释：当直线l与x轴垂直时，直线l的斜率不存在.3．直线的倾斜角与斜率间的关系（1）直线的倾斜角和斜率都是直线方向的数量表示.它们反映了直线关于x轴正向的倾斜程度.（2）每条直线都存在唯一的倾斜角，但并非每条直线都存在斜率.（3）当0k时，0；当0k时，0(0,90)；当0k时，00(90,180)。4．过两点直线的斜率已知两点11(,)Axy、22(,)Bxy的直线l当12xx，即l与x垂直时，直线l的斜率不存在；当12xx，即l与x不垂直时，直线l的斜率为：2121yykxx(120xx)。考点二：直线的方程1、点斜式：)(00xxkyy（斜率存在）直线直线的倾斜角和斜率直线的方程（五种形式）两条直线的位置关系对称问题平行与垂直距离中心对称轴对称2、斜截式：bkxy（斜率存在）3、两点式：121121xxxxyyyy（直线不平行于坐标轴）4、截距式：1byax（横纵截距存在且不为零）5、一般式：0CByAx（A、B不同时为零）要点诠释：前四种方程的应用是有限制条件的，用直线方程的一般形式解题可避免因考虑不周而导致失误。考点三：两直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直。2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:lykxb和222:lykxb，则21//ll1k=2k且21bb（2）已知直线1l：0111CyBxA和2l：0222CyBxA)0,0(222111CBACBA，则1l∥2l212121CCBBAA新疆学案王新敞要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:lykxb和222:lykxb，则12121llkk；（2）已知直线1l：0111CyBxA和2l：0222CyBxA，则1l2l02121BBAA．4．两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：00222111CyBxACyBxA是否有唯一解。5．点到直线距离公式：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd6．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd。要点诠释：一般在其中一条直线1l上随意地取一点M，再求出点M到另一条直线2l的距离即可。考点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设00(,)Pxy，对称中心为(,)Aab，则P关于A的对称点为00(2,2)Paxby。2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)Pxy关于直线ykxb的对称点为(,)Pxy，则有0000122yykxxyyxxkb，求出x、y。特殊地，点00(,)Pxy关于直线xa的对称点为00(2,)Paxy；点00(,)Pxy关于直线yb的对称点为00(,2)Pxby。3．曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。4．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点(,)xy关于x轴的对称点为(,)xy；（2）点(,)xy关于y轴的对称点为(,)xy；（3）点(,)xy关于原点的对称点为(,)xy；（4）点(,)xy关于直线0xy的对称点为(,)yx；（5）点(,)xy关于直线0xy的对称点为(,)yx。【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1．直线cos320xy的倾斜角的范围是A．5,,6226B．50,,66C．50,6D．5,66【思路点拨】已知条件中直线cos320xy中的角并不是这条直线的倾斜角.【答案】B【解析】由直线cos320xy，所以直线的斜率为cos3k．设直线的倾斜角为，则costan3．又因为3cos3333，即33tan33，所以50,,66．【总结升华】本题要求正确理解直线倾斜角的概念以及倾斜角与斜率的关系。【举一反三】【变式】已知动直线21ykxk与直线l:122yx的交点在第一象限，求k的取值范围。【答案】：由题意可知，动直线l过定点21C（，）,直线l与x轴，y轴分别交于点40A（，），02B（，）,由图可知ACBCkkk时，动直线与直线l交点在第一象限,0114(2)6ACk,2110(2)2BCk,∴1162k为所求.类型二：两直线的位置关系例2．四边形ABCD的顶点为(2222)A，，(22)B，，(0222)C，，(42)D，，试判断四边形ABCD的形状．【思路点拨】证明一个四边形为矩形，我们往往先证明这个四边形为平行四边形，然后再证明平行四边形的一个角为直角.【解析】AB边所在直线的斜率22ABk，CD边所在直线的斜率22CDk，BC边所在直线的斜率2BCk，DA边所在直线的斜率2DAk．xyABCOlABCDkk∵，BCDAkk，ABCD∴∥，BCDA∥，即四边形ABCD为平行四边形．又2(2)12ABBCkk，ABBC∴，即四边形ABCD为矩形．【总结升华】证明不重和的的两直线平行，只需要他们的斜率相等，证明垂直，只需要他们斜率的乘积为-1.【举一反三】【变式1】直线l1:ax+(1-a)y=3与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值。【答案】方法一：当a=1时，l1:x=3,l2:52y,∴l1⊥l2当23a时，l1:56x53y,l2:54x,显然两直线不垂直当a≠1且23a时，l1:1a3x1aay,l2:3a22x3a2a1y∴3a2a1k,1aak21，由k1·k2=-1得13a2a11aa，解得a=-3∴当a=1或a=-3时，l1⊥l2。方法二：∵a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1或a=-3∴当a=1或a=-3时，l1⊥l2。类型三：直线的方程例3．过点P(2，1)作直线l与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.【思路点拨】因直线l已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线l的点斜式方程，且易知k0，再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.【解析】解法一：设直线l的方程为:y-1=k(x-2)，令y=0，得:x=kk12；令x=0，得y=1-2k，∵l与x轴、y轴的交点均在正半轴上，∴kk120且1-2k0故k0，△AOB的面积1211111(12)(44)2(4)44222kSkkkkkk当且仅当-4k=-k1，即k=-21时，S取最小值4，故所求方程为y-1=-21(x-2)，即:x+2y-4=0.解法二：设直线方程为1byax，∴A(a，0)，B(0，b)，且a0，b0，∵点P(2，1)在直线l上，故112ba，由均值不等式:1=,82212ababba得当且仅当2112ba，即a=4，b=2时取等号，且S=21ab=4，此时l方程为,124yx即:x+2y-4=0.解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，设=∠PAM=∠BPN，则△AOB面积S=S矩形OMPN+S△PAM+S△BPN=1121cot2tan22cot2tan22=4，当且仅当11cot2tan,tan22即时，S△AOB有最小值4，故此时直线l的方程为y-1=-21(x-2)，即:x+2y-4=0.【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”.已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.【举一反三】【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；【答案】由题设，设所求直线方程为1xyab，由已知条件得:121||||abab解之得:1313aabb或，故所求直线方程为:x+y+1=0或x-y-3=0.【变式2】直线l过点(1,4)P，且在两轴上的截距之和为零，求l的方程。【答案】（1）若直线l过原点，设直线l：ykx,因为直线l过点(1,4)P，代入上式得41k，解得4k所以直线l的方程为；4yx.（2）若直线l在两轴上截距不为零，设l的方程为：1xyaa，将(1,4)P代入上式得：141aa，解得5a，∴155xy，即50xy,由（1）、（2）知：直线l的方程为4yx或50xy.类型三：对称问题例4．求直线:240axy关于直线:3410lxy对称的直线b的方程。【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。2.由平面几何知识可知，若a与b关于l对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，即l为线段AB的垂直平分线（ABl，AB的中点在l上）；（2）设(,)Pxy是所求直线b上一点，则P关于l的对称点(,)Pxy的坐标适合直线a的方程；（3）若a与b相交，则l过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//al，则////bla，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案。【解析】方法一：在直线:240axy上取一点(2,0)A，设A点于l的对称点00(,)Bxy，则0000203410220423xyyx，解得48(,)55B，由2403410xyx