包装动力学课件第三章第一节振动理论基础

第三章包装动力学的振动理论第一节振动理论基础一、振动系统二、单自由度系统的无阻尼自由振动三、单自由度系统的有阻尼自由振动四、单自由度系统的受迫振动五、二自由度系统的自由振动六、二自由度系统的受迫振动一、振动系统•由刚性物块、线性弹簧和线性阻尼组成的振动系统称为线性振动系统。一、振动系统振动是由振源向振动系统输入信号，系统所作的响应。•激励（振源）：促使物体振动的各种外因•阻尼：阻碍物体振动的因素，如空气的阻力，材料的内阻，物体之间的摩擦等•动力学是研究系统动态行为的学科。包括已知振源和系统动态特性，求系统响应；已知系统动态特性和响应求系统输入；已知系统的输入和输出来确定系统动态特性（模态分析，系统识别）。一、振动系统与缓冲包装动力学相关的一些物理定律：•牛顿第一定律（惯性定律）：一个物体如果不受力或作用于物体上的力是平衡力，则其运动状态不变。•牛顿第二定律：在惯性系中，质点受力作用将获得加速度。•牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）：两个物体间的作用力与反作用力大小相等，方向相反。•胡克定律：在弹性限度内，若弹簧在外力的作用下产生位移，则FmaFkx一、振动系统•按系统自由度分——单自由度系统振动多自由度系统振动连续介质系统振动•按微分方程分——线性振动非线性振动•按系统输入类型分——自由振动强迫振动（受迫振动）自激振动•按输出规律分——周期振动随机振动一、振动系统•线性振动：描述系统振动响应的方程为线性微分方程，该振动称为线性振动；•非线性振动：描述系统振动响应的方程为非线性微分方程，该振动称为非线性振动；•自由振动：系统受初始扰动后(初始位移或速度)，仅在弹性恢复力作用下产生的振动。•强迫（受迫）振动：系统在外界持续激励作用下产生的振动•自激振动：系统在输入输出之间有反馈特性，并有能量补充而产生的振动。•周期振动：系统的振动按某个确定的时间T重复进行的振动称作周期振动，该时间T叫做周期。•随机振动：系统的振动响应具有随机性的振动称作随机振动。一、振动系统外包装箱产品缓冲衬垫(a)部分缓冲结构产品(b)有易损部件的全面缓冲结构k阻尼器mm1cm3c2c1k2k1m1m2产品简化的力学模型二、单自由度系统的无阻尼自由振动•自由振动•给弹簧一个初始位移后，如果没有外力干扰，它按自身的特性进行的有规律的往复运动。二、单自由度系统的无阻尼自由振动•作用在质量块上的弹性力总是指向平衡位置(恢复力)。•若没有能量损耗，振动时离开平衡位置的最大位移不变，称之为振幅。•自由振动具有周期性。从某一位置开始运动，总是在一个固定的时间内回到开始位置，这一时间叫做振动的周期，单位为秒。为了描述振动的快慢程度，引入振动的频率f，它定义为单位时间内振动的次数，单位为赫兹（Hz）。频率f和周期互为倒数，即：TTT1fT二、单自由度系统的无阻尼自由振动•力学模型设弹簧的原长为L0，弹簧静变形stmgk二、单自由度系统的无阻尼自由振动•运动方程的建立考虑到得：stmgkFkxmg由图（d）可知，质量块受到的合力为：由牛顿第二定理得：即：，式中整理为：0kxxm二、单自由度系统的无阻尼自由振动根据0kxxm因为k，m均大于0，令得假设时，质量块的初始位移和速度分别是：那么于是得到位移方程为：式中2km二、单自由度系统的无阻尼自由振动•无阻尼单自由度振动的固有频率和固有圆频率物块振动一次经历的时间Τ称为周期。根据正弦函数的性质，时间每经历一个周期，正弦函数的相位角增加2π，故：km因为所以，周期为22mTk频率为12kfm二、单自由度系统的无阻尼自由振动•无阻尼单自由度系统自由振动的速度与加速度方程对位移方程求一次导数，得系统自由振动的速度方程为对位移方程求二次导数，得系统自由振动的加速度方程为tAtVcostAtasin2二、单自由度系统的无阻尼自由振动例：已知一包装件的产品质量m=10kg，缓冲垫等效弹性系数为k=100000N/m，将其简化为无阻尼单自由度模型，给缓冲垫一个初始位移x0=-0.01m，使之从静止开始振动，求固有频率和位移方程。解：由公式得系统固有圆频率为：固有频率为：（Hz）km100000100/10kradsm15.922f二、单自由度系统的无阻尼自由振动又已知初始条件为：x0=-0.01m，v0=0。得：因此运动方程为：2220000.01()vxAxm00tantan2xacracrv0.01sin1002xttsinxtAt三、单自由度系统的有阻尼自由振动由于包装缓冲系统都是有阻尼的，所以，分析有阻尼单自由度系统的自由振动具有十分重要的作用。stFkx质量块m作自由振动，在任一瞬时t，作用在质量块上的力有：重力mg弹性力阻力Rcx根据牛顿第二定律，质量块的运动微分方程为：()stmxFRmgkxcxmgkxcx三、单自由度系统的有阻尼自由振动将方程mxFRmgkxcx简化后得：0kcxxxmm令上式中，，就得到有阻尼自由振动的运动微分方程的标准形式2km2cnm220xnxx式中：——是质量块弹簧系统的固有圆频率；n——是衰减系数，其单位为s-1三、单自由度系统的有阻尼自由振动设特解为txe代入上式得：2220n根据微分方程220xnxx22nn解方程得•n≥ω，称为大阻尼。质量块受初干扰离开平衡位置后又缓慢地回到平衡位置，不可能振动；•n=ω，称为临界阻尼。•n＜ω，称为小阻尼。质量块系统受干扰产生振动。因此我们只讨论这种情况三、单自由度系统的有阻尼自由振动•当n＜ω时，设1j，故22njn将上式代入中得：txe22ntjntxee将它按欧拉公式展开，得到两个特解：221222cossinntntxentxent将这两个特解线性组合，即得通解为22sinntxAent三、单自由度系统的有阻尼自由振动由上式可以看出：•小阻尼n＜ω时质量块系统的运动规律为正弦波形；•因为-1≤≤1，所以质量块系统的位移被限制在两条曲线和之间；•质量块系统的振动随时间的增加而逐渐衰减，是衰减振动。22sinntxAentntxAentxAe三、单自由度系统的有阻尼自由振动设初始条件为：，由此可确定常数A和。计算公式为：，得：22sinntxAent衰减振动虽然不是真正地周期性运动，但它仍具有等时性，因此质量块来回往复一次所经历的时间仍然称为周期，用表示1T三、单自由度系统的有阻尼自由振动111iintnTintTiAAedeAAeiA1iA阻尼对自由振动的影响主要表现在振幅。设相邻两次振动的振幅分别为和，则前后两次的振幅比为：d称为振幅系数，由上式得：因为d＞1，所以小阻尼自由振动的振幅按几何级数的规律迅速衰减。12AAd2132AAAdd11iiiAAAdd……三、单自由度系统的有阻尼自由振动例：已知一包装件产品质量m=10kg，缓冲垫等效弹性系数为k=100000N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为。给缓冲垫一个初始位移x0=－0.01m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的5%。解：系统的固有圆频率为：得无阻尼固有圆频率为：阻尼系数为：振动周期为：0.052kfm100/kradsm1000.055n220.0631Ts三、单自由度系统的有阻尼自由振动又已知初始条件为：x0=－0.01m，v0=0得得20020222202000.01tan63.24nxvAxmnxnnxv1.555rad由公式得位移方程为：22sinntxAent50.01sin99.871.555txtet0.10.20.30.40.50.6-0.0075-0.005-0.00250.00250.0050.00750.01因为，，所以振幅系数为：5n0.063Ts10.31461.37nTdee1110.05iiAAAd有即要求1209.520.05idi作业1.已知一包装件的产品质量m=6kg，缓冲垫等效弹性系数为k=600N/m，作无阻尼自由振动，给一个初始位移0.04m，使之从静止开始振动，求其固有频率、位移方程和最大加速度。2.已知一包装件产品质量m=8kg，缓冲垫等效弹性系数为k=500N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为。当其作有阻尼自由振动时初始振幅为A=0.02m，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。0.05四、单自由度系统的受迫振动•受迫振动：有周期性变化的外力（激振力）在振动过程中一直作用在系统上，则系统会产生响应。这种由激振力引起的振动就是受迫振动。涉及的内容有：1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动3、支座运动系统的自由振动4、支座运动系统的受迫振动四、单自由度系统的受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动•建立力学模型：•运动方程：设质量块系统受到简谐激振力：式中：Pm——为最大简谐激振力；p——是简谐激振圆频率。在系统振动的任一瞬时，质量块所受的弹性力为：stFkxsinmPPpt根据牛顿第二定律，质量块的运动微分方程为：sinmmxmgFPkxPpt上式的解是由两部分组成的：式中：x1——为与运动方程对应的齐次方程的通解；x2——为运动方程的特解。四、单自由度系统的受迫振动令化简得运动方程为：12xxx2km2sinmPxxptm设，上式可改写为mPhm2sinxxhpt运动方程的齐次方程是：若加上初始条件，就成为单自由度系统的无阻尼自由振动方程，它的通解就是1sinxAt四、单自由度系统的受迫振动将上式代入质量块运动微分方程得化简得2sinmxxpt2sinxxhpt22sinsinsinmmpxptxpthpt22mhxp所以运动微分方程的特解为：222sinsinmhxxptptp根据实验知道，系统的响应频率与激振频率相等。因此设四、单自由度系统的受迫振动因此，运动微分方程的解（也就是位移方程）为：1222sinsinhxxxAtptp由于x1是自由振动，在实际情况中会很快衰减，故稳态强迫振动的位移方程可写为：222sinhxxptp上式表明，系统在外部简谐力激励作用下的稳态强迫振动也是简谐运动，其频率与激励频率相同。振幅与系统本身及外部激励的性质有关，与运动的初始条件无关。四、单自由度系统的受迫振动•受迫振动的振幅放大系数振幅反映强迫振动的强弱，因此要推导振幅放大系数，从而通过已知的外部激励振幅求出系统响应的振幅。系统响应圆频率与系统固有圆频率之比为：设，将改写成令响应振幅与输入振幅之比为：则上式可写成如下形式：取λ为横坐标，β为纵坐标，画出一条曲线，称为幅频函数。22mhxp2011mxB0mxBp2011mxB02hB四、单自由度系统的受迫振动•强迫振动系统的响应频率等于激振频率，都是；•式为放大系数，也叫幅频函数；2p2011mxB•放大系数中表示激振频率与系统固有频率之比。当时，，这种现象叫共振，这时响应加速度也趋于无穷大，从而振动产生的动态力也趋于无穷大，所以一般振动破坏都发生在产生共振的时刻。mpff1四、单自由度系统的受迫振动2、单自由系统的有阻尼受迫振动•建立力学模型：•运动方程：设质量块系统受到简谐激