初等数论-第八章--代数数与超越数

164第八章代数数与超越数我们对于全体复数有不同的分类方法。例如，可以将它们分为整数和非整数，有理数和非有理数（无理数），实数和非实数，等等。本章要介绍一种对复数的分类方法：代数数与超越数，并且介绍这两类数的一些简单知识。以下，若无特殊声明，“数”都是指一般意义下的复数。第一节代数数定义1若满足有理系数代数方程f(x)=xnan1xn1a1xa0=0，(1)即是有理系数多项式f(x)的零点，则称是代数数；若an-1,...,a0都是整数，则称是代数整数。例如，2i,nba1（a，b，n是正整数）是代数数；35,2是代数整数。容易看出，定义1等价于下面的定义1’。定义1’设满足整系数代数方程f(x)=anxnan1xn1a1xa0=0，(2)则称是代数数；若an=1，则称是代数整数。定义2一个有理系数多项式若不能等于两个非常数的有理系数多项式的乘积，则称为不可约多项式。在定义1’中，若f(x)是不可约多项式，并且(a0,…,an)=1，则称是n次代数数，记为d()=n,并称h=h()=max(|a0|,…,|an|)是它的高。定理1两个代数数的和、差、积、商（分母不为零）是代数数。165证明设α和β是代数数，它们分别是有理系数多项式f(x)=xnan1xn1a1xa0和g(x)=xmbm1xm1b1xb0的零点。设f(x)和g(x)的全部零点分别是α1,…,αn和β1,…,βm,则α+β是多项式nimjjixxh11))(()(的零点。显然，多项式h(x)的系数是α1,…,αn与β1,…,βm的对称多项式。因此，由对称多项式的性质，h(x)是有理系数多项式，即α+β是代数数。同样地可以证明α-β,,以及)0(是代数数（留作习题）。证毕。定理2若是代数数，则存在正整数m,使得m是代数整数。证明（留作习题）。定理3设≠0是代数数,满足方程（2），则11h||h1，(3)其中h=max(|a0|,…,|an|)。证明若≠0满足方程（2），则1满足方程a0xna1xn1an-1xan=0,因此，我们只需证明式(3)的右半部分。如果||h1不成立，则||h1。(4)下面要说明，由此会推出一个矛盾。事实上，由annan1n1+a1a0=0我们得到102121)()(111nnnnnnnnaaaaaaaa。166由此，利用式(4)及1≤|ai|h，0in，(5)我们得到。11111111111||))((||11hhhhhhhhnn这与式(4)矛盾。这个矛盾说明式(4)不可能成立。证毕。例1设是代数数，满足整系数代数方程f(x)=adxdad1xd1a1xa0=0，则对于任何正整数n，有等式(ad)n=)(02)(21)(1ndnddndAAA，其中)(niA（0id1）是绝对值不超过(2max(|a0|,…,|an|))n的整数。证明用归纳法。记h=max(|a0|,…,|an|)。当nd1时，结论显然正确。假设结论当n=k（kd1）时成立，则存在整数)(kiA（0id1），使得(ad)k=kkikdkddkdhAAAA)2(||)()(02)(21)(1，。(6)于是)())(01)(11kdkddkdAAaa（)(0)(1kddkddAaAa。)(01)(2011)(1)(kddkddddkdAaAaaaA记，，，11)(1)(1)1()(10)1(0diAaAaAAaAkdikidkikdk167则(ad)k+1=)1(02)1(21)1(1kdkddkdAAA，因此，由式(6)得到|)1(kiA|2h(2h)k=(2h)k+1，即当n=k1时结论成立。由归纳法证得例1中的结论。例2设数0，并且满足方程xna1xn1an1xan=0，(7)其中a1,a2,,an是任意的实数，并且|ai|i，1in，(8)则||253。解不妨设||1。设1是任意固定的常数。如果||，(9)那么，由式(7)，(8)及(9)，得到na1n1an1an=0以及|n||a1||n1||an1||||an|，|||a1||a2|||1|an1|||n+2|an|||n+112||1+(n1)||n+2n||n+122222)1()1|(|||111|)|(。（10）这样，若取使得22)1(，(11)那么，式(10)就与式(9)矛盾，因此，式(9)不能成立，所以||。从式(11)容易求出=253，这就是要证的结论。注：从这个例子中，可以看出式(3)中的h+1是如何确定出来的。168习题一1.补足定理1的证明。2.证明定理2。3.证明：有理数为代数整数的充要条件是这个有理数为整数。第二节超越数除了代数数还有一类数，即超越数。本节将对代数数的有理逼近性质做一简单介绍，并构造一类超越数。定义1不是代数数的数，称为超越数。定理1超越数是存在的。证明用En,h表示所有的次数为n、系数绝对值不超过h的整系数多项式的零点的集合，用A表示所有代数数的集合，则11,nhhnEA。由于每个En,h是有限集合，所以A是一个可数集合。但是，全体复数的集合是不可数集合，因此，超越数是存在的。证毕。这个定理肯定了超越数的存在性，但并未确切地举出超越数的例子。为了能构造一些具体的超越数，我们来证明一个定理。定理1(Liouville)设是次数为d的实代数无理数，则存在只与有关的正常数c=c()，使得对于任何整数p，q，(p,q)=1，有dqcqp||。(1)证明不妨设1||qp。(2)设的最小多项式是f(x)，则f()=0，于是，由微分学中值定理可知)()()()()(fqpqpffqpf，(3)169其中是介于与qp之间的某个数，因此，由式(2)，有||1。以M表示f(x)在区间[||1,||+1]中的最大值，则由式(3)得到|)(|||1qpfMqp，(4)因为f(x)是不可约多项式，并且是无理数，所以d2，因此f)(qp0，从而dqqpf1|)(|，由此及式(4)得到式(1)，证毕。推论设是实无理数，若存在常数M，有理数列}{nnqp，以及递增的实数列{sn}，sn，使得nsnnnqMqp||(5)对于n1成立，则是超越数。证明若是代数数，设它的次数是d，由定理1，存在常数c，使得dnnnqcqp||对于所有的n1成立，但是，由于sn，当n充分大时，这与式(5)矛盾，所以不能是代数数。证毕。关于定理1，有两点说明：(ⅰ)定理1表明，若是实的代数无理数，那么，它与有理数的差不能太小。(ⅱ)可以证明，式(1)右端的因数qd能改进为q(2+)，其中0是任意常数，但是，不能改进为q2。事实上，在第三章第三节中我们知道：对于任何无理数，都有无穷多个有理数qp，使得17021||qqp，q0，(p,q)=1。现在，我们来构造具体的超越数。设r1,r2,,rn,与s0,s1,,sn,是严格增加的正整数列，满足条件0=s0r1s1r2，nnnrslim。(6)又设整数列a1,a2,,an,满足条件ak=0（rnksn，n=1,2,3,），(7),3,2,100naannsr，，，(8)并且0)(kkkxaxf的收敛半经是1。定理2设qp是区间(0,1)中的有理数qp。若)(qpf不是有理数，则必是超越数。证明若qp(0,1)，则必存在x(0,1)，使得qpx。由于0)(kkkxaxf收敛，所以，存在常数M，使得|akxk|M，k=0,1,2,。(9)由式(7)，对于任何正整数n，有nnnskkkkskkkrkkkqxpxaqpaqpaqpf)()()()(0。记y=qxp1，则由上式及式(9)得到nnnnssskkrkkkyMyMyyMqpaqpf110)()(，(10)其中M是常数。由式(6)，我们有171nnnnrqyssqMqMyMloglog，其中nnnrsqyloglog，n→∞。在式(10)中，krkkqpan)(0是一个分母nrq的有理分数，因此，利用定理1的推论可知，若f()不是有理数，则它必是超越数。证毕。推论设正整数数列{rn}满足条件nnnnrrrrrr1121，，n→∞，则对于任何整数a2，1nrna是超越数。证明由定理2，只需证明不是有理数。设是有理数，=qp，p与q是互素的整数，记nnnkrqpak1，则nrnaq，并且0nrnnnnnaqqqqpqpqp11||||。(11)另一方面，由假设条件，存在N，当kN时，有rk2，rk+12rk，因此rk+1rkrk2，于是，当nN时，有rn+2rn+12，rn+3rn+14，rn+irn+12(i1)，从而1721111nkrrrnkrnnknnkaaapq)1(2)1(21iiraan。1112111222)(nnrraaaaa（12）当n充分大时，式(11)与式(12)矛盾，所以不是有理数。证毕。例下面的两个数是超越数：(ⅰ)!3221212121n！！；(ⅱ)nn212121213232。解留作习题。做为本节的结束语，我们指出，利用Liouville定理及定理2可以具体构造一些超越数。但是，能用它们来判定的超越数只是超越数集合中的很小一部分。对于给定的数的超越性的判定，常常是非常困难的。习题二1.证明例中的结论。2.证明连分数!!3!2101101101101n是超越数。3.设是一个超越数，是一个非零的代数数，证明：，，都是超越数。173第三节数e的超越性本节要证明数e是超越数。为此，首先证明一个定理。定理1设f(x)是实系数多项式，次数为m，记duufetItut)()(0，(1)其中t是任意实数，则miimiittffetI0)(0)()()0()(。证明对于任意的正整数k，km，由分部积分得到tuktktuktkudueuketdeuduue0100tuktkdeuket01dueukkktteutkkkt021)1()(!)!(1kkkttekkt。000||)()(xkkiiikitxkiitxdxdxdxde(2)由于km，所以式(2)就是tmimixkiittxkiikutxdxdexdxdduue0000||)()(。(3)设mikkxaxf0)(，则由式(3)得到174。0000000000000||||))(())(()()()()(xmiiitmitxiixkmiiimkktmitxkiimkktkutmiktmkkkuttutxfdxdexfdxdxdxdaexdxdaduueaduuaeduufetI证毕。为了证明