一阶电路时域分析

第11章一阶电路时域分析11.1电感元件和电容元件11.2动态电路方程的列写11.3动态电路的初始条件11.4一阶动态电路11.6全响应的分解11.5二阶动态电路11.9状态变量法11.7单位阶跃响应和单位冲激响应11.8卷积积分一、电感元件(inductor)inductancei+–u–+eLi+–u变量:电流i,磁链(Wb)[][](H)[][](A)[]韦伏秒亨欧秒安安1.线性定常电感元件defLi=N为电感线圈的磁链L称为自感系数L的单位名称：亨[利]符号：H(Henry）电感以磁场形式存储能量。11.1电感元件和电容元件tiLedd韦安（-i）特性i02.线性电感电压、电流关系：由电磁感应定律与楞次定律i,右螺旋e,右螺旋u,i关联i+–u–+etiLeudd0(0)dtutuLid1tuLuL00d1d1tuLi0d1)0(tuLiti0d1)0((3)电感元件是一种记忆元件；(2)当i为常数(直流)时，di/dt=0u=0,电感在直流电路中相当于短路；(4)当u，i为关联方向时，u=Ldi/dt；u，i为非关联方向时，u=–Ldi/dt。电感的电压-电流关系小结：(1)u的大小与i的变化率成正比，与i的大小无关；3.电感的储能不消耗能量从t0到t电感储能的变化量：)(21)(21022tLitLiWLtiLiuipdd吸()02211()()022iLittL若无源元件dddiLiWt吸)()(221tiiLi)(21)(2122LitLi4.电感的串并联Lequi+_等效电感L1ui+_u1n个电感串联L2u2Lnun+++___（1）电感的串联根据KVL和电感的电压电流的关系，有nuuuu12niiiLLLttt12ddd=dddniLLLt12d=()diLteqd=dnLLLLeq12等效电感与各电感的关系式为结论：n个串联电感的等效电感值等于各电感值之和。(2)电感的并联Lequi+_等效电感inL1ui+_i1L2i2Ln+__++_u1u2unn个电感并联nitititit12()()()()tuiL0eq1()d(0)根据KCL及电感的电压与电流的关系式，有tnnuiiiLLL12012111()()d(0)(0)(0)tttnnuiuiuiLLL1200012111()d(0)()d(0)()d(0)nLLLLeq121111LLLLL12eq12等效电感与各电感的关系式为结论：n个并联电感的等效电感值的倒数等于各电感值倒数之和。当两个电感并联（n=2）时，等效电感值为nkkii1(0)(0)二、电容元件(capacitor)电容器++++––––+q–q线性定常电容元件电路符号C电容以电场形式存储能量。描述电容的两个基本变量:u,q对于线性电容，有：q=Cu1.元件特性Ciu+–+–uqCdef电容C的单位：法[拉]，符号：F(Farad)常用F，pF等表示。库伏（q-u）特性Ctanqu02.线性电容的电压、电流关系Ciu+–+–tuCtqiddddtiCtud1)(ttitqtq0d)()(0ttiCtutu0d1)()(0tttiCiC00d1d1电容的电压-电流关系小结：(1)i的大小与u的变化率成正比，与u的大小无关；(3)电容元件是一种记忆元件；(2)当u为常数(直流)时，du/dt=0i=0。电容在直流电路中相当于开路，电容有隔直作用；(4)表达式前的正、负号与u，i的参考方向有关。当u，i为关联方向时，i=Cdu/dt；u，i为非关联方向时，i=–Cdu/dt。tuCiddttiCtutu0d1)()(03.电容的储能从t0到t电容储能的变化量：)(21)(21022tCutCuWCtuCuuipdd吸0)(21)(21)(21)(2121ddd220)(22)()(2tqCtCuCutCuCuuCuWutuutC若不消耗能量无源元件4.电容的串并联（1）电容的串联Cequi+_i等效电容C1ui+_u1n个电容串联C2u2Cnun+++___nutututut12()()()()tttnnutiuiuiuCCC1200012111()()d(0)()d(0)()d(0)由KVL，有代入各电容的电压、电流关系式，得ntkkniuCCC0112111()()d(0)tiuC0eq1()d(0)nknkCCCCC1eq1211111CCCCC12eq12等效电容与各电容的关系式为结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和。当两个电容串联（n=2）时，等效电容值为nkkuu1(0)(0)（2）电容的并联Cequ+_+_q等效电容niiii12nuuuitCCCttt12ddd()ddduCteqdd由KCL，有代入各电容的电压、电流关系式，得nuCCCt12d()diniC1u+_i1C2i2Cn+__++_q1q2qnn个电容并联eq121nnkkCCCCC等效电容与各电容的关系式为结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和。电容元件与电感元件的比较：电容C电感L变量电流i磁链关系式电压u电荷q(1)元件方程是同一类型；(2)若把u-i，q-，C-L，i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；22dd1122LLiiuLtWLiL222121ddqCCuWtuCiCuqC(3)C和L称为对偶元件,、q等称为对偶元素。S未动作前i=0,uC=0i=0,uC=US1.什么是电路的过渡过程稳定状态i+–uCUSRC三、动态电路简介稳态分析S+–uCUSRCit=0S接通电源后很长时间S+–uCUSRCi初始状态过渡状态新稳态过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。t1USuCt0?过渡状态（瞬态、暂态）2.过渡过程产生的原因（1）电路内部含有储能元件L、M、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。twp（2）电路结构发生变化支路接入或断开；参数变化+-uSR1R2R3换路3.稳态分析和暂态分析的区别稳态暂态换路发生很长时间后换路刚刚发生iL、uC随时间变化代数方程组描述电路微分方程组描述电路IL、UC不变时域分析法复频域分析法时域分析法经典法拉普拉斯变换法状态变量法数值法4.分析方法0dddddd01111tuiatiatiatiannnnnn激励u(t)响应i(t)返回目录5.2动态电路方程的列写依据：KCL、KVL和元件约束。)(d1)(dd00tituLtitiLuLttLLLL)(d1)(dd00tutiCtutuCiCttCCCCiS(t=0)US+–uRC+–uCR例1SddUutuRCCC例2SddutiLRiLLiL+uL-SR+_uS+-uRL复习常系数线性常微分方程求解过程。(t=0)0.01F+-uC0.04HRiLCLLuRitiLdd01dddd22CCCuLCtuLRtuLCituCdd例3返回目录一、t=0+与t=0-的概念换路在t=0时刻进行0-t=0的前一瞬间0+t=0的后一瞬间11.3动态电路的初始条件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始条件就是t=0+时u，i及其各阶导数的值。0-0+0tf(t)二、换路定律d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCuq=CuCt=0+时刻d)(1)0()0(00iCuuCCd)()0()(0tiqtq当i()为有限值时iuCC+-d)()0()0(00iqq0d)(00iq(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)电荷守恒tiLuLddd)(1tLuLid))(1d)(100tLuLuLiduLitL)(1)0(0当u为有限值时0(0)()dtuLLiL(0+)=L(0-)iL(0+)=iL(0-)磁链守恒iLuL+换路定律成立的条件!!!三、电路初始值的确定(2)由换路定律uC(0+)=uC(0-)=8V+-10ViC(0＋)+8V-10k0+等效电路mA2.010810)0(Ci(1)由0-电路求uC(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0-)=0iC(0+)例1+-10ViC+uC-S10k40k求iC(0+)。电阻电路1电阻电路20)0(0)0(LLuuiL(0+)=iL(0-)=2AV842)0(Lu例2t=0时闭合开关S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS14+uL-10V140+电路2A电阻电路m(0).2LEiL(1)LEiiLL2)0()0(mSmsin(60)V,uEt例3iL+uLLSR+uS+-uR已知(0),(0),(0).LLRiuu求(2)0+时刻电路:LRERiuLR2)0()0(mLREEuL223)0(mm+-+uL-R23mE+-uRiL(0+)小结——求初始值的步骤：1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)和iL(0-)。2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.画出0+时刻的等效电路。（1）画换路后电路的拓扑结构；（2）电容（电感）用电压源（电流源）替代。取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向。4.由0+电路求其它各变量的0+值。电阻电路(直流)电阻电路返回目录对L元件：ttLdutt0)()(0ttLLLduLtiti01)()(0当积分上限为t0+，下限为t0-，则有:00)()(00ttLdutt001)()(00ttLLLduLtiti(t0+)=(t0-)iL(t0+)=iL(t0-)若uL为有限值q(t0+)=q(t0-)uc(t0+)=uc(t0-)(t0+)=(t0-)iL(t0+)=iL(t0-)总结:若换路时刻t=0时刻，则为:q(0+)=q(0-)uc(0+)=uc(0-)(0+)=(0-)iL(0+)=iL(0-)对于联接有多个电容的结点（但不含电压源），换路前后电荷守恒：q(0+)=q(0-)即Cuc(0+)=Cuc(0-)对于由多个电感构成的回路（不含电流源），换路前后磁链守恒：(0+)=(0-)即LiL(0+)=LiL(0-)例11.1-1图示电路，求它们换路前后的磁链关系。+-RL1C2L3usii1i2i3解:列KVL方程sudtdiLCqdtdiLRi33211对上式在[0-，0+]进行积分，设i1、i2、i3、i、q2、us为有限值000033002001100dtudtdtdiLdtCqdtdtdiLRidts=0000330011dtdtdiLdtdtdiL0)0()0(33)0()0(113311iiiidiLdiLL1[i1(0+)－i1(0－)]+L3[i3(0+)-i3(0－)]=0L1i1(0+)+L3i3(0+)=L1i1(0－)+L3i