排列组合与二项式定理

1.乘法原理和加法原理（1）乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有1m种不同的方法，第2步有2m种不同的方法，，第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法.（2）加法原理：如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法.【注意】应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.2.排列组合（1）排列的概念：从n个不同的元素中取出()mmn个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同的元素中取出()mmn个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnP表示.（2）排列数公式：!(1)(2)(1)(,*,)()!mnnPnnnnmmnNmnnm，!nnPn，规定：0!1.（3）组合的概念：从n个不同的元素中取出()mmn个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同的元素中取出()mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示.（4）组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!mmnnmmPnnnnmnCPmmnm（5）组合的两个性质：①mnmnnCC；②11mmmnnnCCC【注意】解决排列组合问题常见的解题方法有：直接法，间接法，捆绑法，插空法，固定秩序法，元素优先法，位置优先法等。（1）直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。（2）间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。（3）捆绑法：关于某些元素必“相邻”的问题，可把这些元素看作一个整体，当成一个元素和其它元素进行排列，然后这些元素自身再进行排列，这种方法叫做捆绑法。（4）插空法：若题目限制某些元素必“不相邻”，可将无此限制的元素进行排列，然后在它们的空格处，插入不能相邻元素，这种方法叫插空法。二项式定理（1）二项式定理：0111*(),nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN【注意】①项数：展开式中总共有(1)n项.②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的.③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.（2）通项：1,0,1,2,,.rnrrrnTCabrn（3）二项式系数的性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0nnnCC，···1kknnCC②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCCC．③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1ab，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxCaxCaxCaxCaxaaxaxaxxaCaxCaxCaxCaxaxaxaxaxaaaaaaxaaaaaa令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值．如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值．⑥系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来．(4)常用的结论：令1,,abx0122(1)()nrrnnnnnnnxCCxCxCxCxnN令1,,abx0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCCxCxCxCxnN二、同步题型分析例1.9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？（1）排成一排（2）排成前排4人，后排5人的两排（3）排成一排，其中A，B两人不相邻（4）排成一排，其中C，D两人相邻（5）排成一排，其中E不在排首，F不在排尾（6）排成一排，其中A必须站在B的右侧（不一定相邻）（7）排成一排，身高最高的人站中间且向两边递减（8）排成一排，其中H，I之间必须间隔2人【答案】（1）直接法99P；（2）99P；（3）插空法7278PP；（4）捆绑法2828PP；（5）分类，特殊位置法878777PP；（6）对称法992P；（7）直接法48C；（8）捆绑法226276PPP例2.有四位男学生，三位女学生排队照相，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果（1）七个人排成一列，四个男学生必须连接在一起（2）七个人排成一列，其中甲乙两人之间必须间隔2人（3）七个人排成一列，三个女生不全相邻【答案】（1）捆绑法4444PP＝576；（2）捆绑法224524PPP＝960；（3）间接法753753PPP＝4320例3.某校高一年级有6个班级，现要从中选出10人组成高一女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方法？【答案】隔板法，相当于9个空隔了5块板，59C=126种【二项式定理主要应用】求展开式中的特定项或特定项的系数；求二项式系数和或各项的系数和，主要运用“赋值法”；整除性的证明、求余数，主要运用“配凑法”、“消去法”；近似值的计算；不等式的证明.4、(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？(3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？【参考答案】(1)81(2)36(3)42/5、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？【参考答案】解：从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；6、(1)22361212xxxCC,求x.(2)333333345678CCCCCC.(3)173213nnnnCC.【参考答案】(1)2236xxx或221236xxx2560xx或260xx122,3xx或343,2xx经检验2x(2)原式=33333343456789126CCCCCCC(3)1721713631332nnnnnn原式=11181112191219121931CCCC7、书架上有9本不同的书，若把另外3本不同的书插进去，且要求不插在两头，有种不同的插法.【参考答案】7208、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？【参考答案】可以分为两类情况：①若取出6，则有211182772PCCC种方法；②若不取6，则有1277CP种方法．根据分类计数原理，一共有211182772PCCC+1277CP＝602种方法．9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C种方法，据乘法原理共有3526CC种方法.同理，完成第二类办法中有2536CC种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有3526CC3502536CC种方法.经典例题：例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（）A．150种B.147种C.144种D.141种【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．在10个点中任取4点，有410C种取法，取出的4点共面有三类第一类：共四面体的某一个面，有446C种取法；第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE，有6种取法；第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM，共有3个．故取4个不共面的点的不同取法共有410C－(446C＋6＋3)＝141，因此选D例2.一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？【答案】方法一：从数学课入手（第一类）数学排在第一节，班会课排在下午，其余四科任排，得1412448NPP,（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三节中的一节，其余三科任排，得11133233108PPPP共有排法1248108156NNN（种）方法二：从体育课入手（第一类）体育课在上午111313323108NAAAA（第二类）体育课在下午2422448NPP共有排法1210848156NNN（种）例3．用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数（1）共有几个三位数?（2）末位数字是4的三位数有多少？（3）求所有三位数的和;（4）四位偶数有多少？（5）比5231大的四位数有多少？【答案】（1）百位不能为“0”,因此共有1299648PP个;（2）末位为4,百位不能为“0”,因此共有18P×18P=64个（3）考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:1188(129)PP1188(129)10PP29(129)100P355680（4）分末位数字是否为0两种情况考虑。311294882296PPPP种；（5）①千位上为9,8,7,6的四位数各有39P个;②千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有28P个;③千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有17P个;④千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有3219874655NPPP2392种综合题型1：会根据两个原理解决有关分配决策的问题（要正确区分分类和分步）