2020考研数学三真题及答案解析【完整版】

2020考研数学三真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设lim(),limsin()sinxxfxafxabxaxa则A.sinbaB.cosbaC.sin()bfaD.cos()bfa答案：B解析：sin()sin[()]limlimcoscos.xaxafxafxabaxaxa（其中介于()fx与a之间）选B2.11ln|1|()12xxexfxex第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案：C解析：0,2,1,1xxxx为间断点111110000ln|1|ln|1|ln|1|lim()limlimlim(1)(2)222xxxxxxexexexefxexxx0x为可去间断点1122ln|1|lim()lim(1)(2)xxxxexfxex2x为第二类间断点1111ln|1|lim()lim0(1)(2)xxxxexfxex1111ln|1|lim()lim(1)(2)xxxxexfxex1x为第二类间断点1111ln|1|lim()lim(1)(2)xxxxexfxex1x为第二类间断点3.设奇函数()fx在(,)上具有连续导数，则A.0cos()'()xftftdt是奇函数B.0cos()'()xftftdt是偶函数C.0cos'()()xftftdt是奇函数D.0cos'()()xftftdt是偶函数答案：A解析：0()[cos()()]dxFxftftt()cos()()Fxfxfx由()fx为奇函数知，()fx为偶函数.cos()fx为偶函数.故()Fx为偶函数.()Fx为奇数选A4.设幂级数1(2)nnnnax的收敛区间为（-2，6），则21(1)nnnax的收敛区间为A.（-2，6）B.（-3，1）C.（-5，3）D.（-17，15）答案：B解析：由于1111(1)11limlim4nnnnnnnaanaaR12121lim4.4nnnaRa　　222RR，故所求收敛域为（-3，1），选B.5.设4阶矩阵()ijAa不可逆，12a的代数余子式1212340,,,,A为矩阵A的列向量组，*A为A的伴随矩阵，则*0Ax的通解为A.112233xkkkB.112234xkkkC.112334xkkkD.122334xkkk答案：C解析：∵A不可逆∴|A|=0∵120A∴()3rA∴*()1rA∴*0Ax的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0AAAE∴A的每一列都是*0Ax的解又∵120A∴134,,线性无关∴*0Ax的通解为112334xkkk，故选C.6.设A为3阶矩阵，12,为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，3为A的属于-1的特征向量，则1100010001PAP的可逆矩阵P为A.1323(,,)B.1223(,,)C.1332(,,)D.1232(,,)答案：D解析：1122,AA33A1100010001PAPP的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,P的第2列为A的属于-1的特征向量3.1232(,,)P选D7.设,,ABC为三个随机事件,且1()()()4PAPBPC,()0PAB,()PAC1()12PBC,则,,ABC中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12D.512答案：D解析：()()()[()]PABCPABUCPAPABUC()()()()()()111004126PAPABACPAPABPACPABC()()()[()]()()()()111004126PBACPBAUCPBPBAUCPBPBAPBCPABC()()()[()]()()()()111104121212PCBAPCBUAPCPCUBUAPCPCBPCAPABC()()()()1115661212PABCABCABCPABCPABCPABC8.设随机变量(,)XY服从二维正态分布10,0;1,4;2N，随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是A.5()5XYB.5()5XYC.3()3XYD.3()3XY答案：C解析：312()cov(,)333DXYDXDYXY1233521333()033()~(0,1).3DXDYDXDYEXYXYN二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],zxyxy则(0,)d|z________.解析：dddzzzxyxx2(0,π)1[cos()],π11[sin()]zzyxyxxyxyx2(0,π)1[cos()],11[sin()]zzxxyyxyxyy∴(0,π)(π1)ddzxyx10.曲线2e0xyxy在点（0，-1）处的切线方程为________.解析：21(22)0xyyeyxy①将0,1xy代入①得1.yk11(0)1.yxyx即11.Q表示产量，成本()10013CQQ，单价p，需求量800()2.3QPP则工厂取得利润最大时的产量为______.解析：()LQPCQ8003100132800161002QQQQQQ22160016(2)()0(2)8QLQQQ12.设平面区域21(,),0121xDxyyxx，则D绕y轴旋转所成旋转体体积为______.解析：11222102xdyxdy1122102121312014141ln32411ln23821ln23ydydyyyy13.行列式011011110110aaaa________.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.00aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa14.随机变量X的概率分布1{},1,2,32kPXkkY…，表示X被3除的余数，则()EY=______.解析：{0}{3,1,2.}PYPXkkL3101{1}{31,0,1,2.}2kkPYPXkkL3201{2}{32,0,1,2.}2kkPYPXkkL31320011()1222kkkkEY11111122118887三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,ab为常数，11enn与abn，当n时为等价无穷小，求,ab.15.【解】1ln11ln112111e11limlim[ee]1lime[e1]11limeln11111lime1211lime2nnannnanannananannnbbnnbnnbnnnbnnnb10a1e112abe2b16.求二元函数33(,)8fxyxyxy的极值解析：.求一阶导可得22324fxyxfyxy令100601012fxxxfyyy可得求二阶导可得2222226148fffxyxxyy当0,00.1.0xyABC时.20ACB故不是极值.当11612xy时1.1.4.ABC2110.10,612ACBA故且极小值极小值33111111,8661261212216f17.若250,(0)1,(0)1yyyff，则（1）求()fx（2）()dnnafxx,求1nnia解析：（1）250yyy的特征方程为2250rr∴1212ri∴12()e(cos2sin2)xyxcxcx1212()e(cos2sin2)e(2sin22cos2)xxyxcxcxcxcx∵(0)1,(0)1yy∴121,0cc∴()ecos2xyxx（2）()decos2dxnnnafxxxxcos2decos2eedcos2e2esin2de2sin2dee2sin2e2ecos2d5e1e5xxxnnnnxnnxnnxxnnnnnnxxxxxxxxxaa211[eee]51e[1e]51e11e5e1nniinna…18.21(,)(,)ddxDfxyyxfxyxy其中221(,)0xyDxyy求(,)dDxfxy解析：积分区域D如图：2(,)1(,)ddDfxyyxxfxyxy两边积分得2(,)dd1dd(,)ddddDDDDfxyxyyxxyfxyxyxxy21122001dd2d1dxDyxxyxyxy1220121(1)d2xxx31220(1)dxx42031πsincosd422xttt3π16dd0Dxxy所以3π(,)dd16Dfxyxy23π(,)116fxyyxx从而223π(,)dd1dddd16DDDxfxyxyxyxxyxxy23πdd16Dxxy2112003πdd16xxxy12203π1d16xxx22203πsinsincosd16xtttt22203πsin(1sin)d16ttt3π1π31π16224223π25619.()fx在[0,2]上具有连续导数，max{|()|},[0,2]Mfxx（1）证[0,2]|()|Mf（2）若[0,2]|()|0xfxMM则解析：证明：（1）由max{|()|}[0,2]Mfxx，知存在[0,2]c，使|()|fcM，若[0,1]c由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c，使()(0)()()fcffcfcc从而|()||()|fcMfMcc若(1,2]c，同理存在(,2)c使(2)()()()22ffcfcfcc从而|()||()|22fcMfMc