第八讲-利率期限结构与随机利率模型

第八讲利率期限结构与随机利率模型统计与管理学院第八讲利率期限结构与随机利率模型➢第一节利率期限结构➢第二节随机利率➢第三节随机利率模型➢第四节互换与零息债券的关系第一节利率期限结构➢利率（InterestRate）是经济和金融领域的一个核心变量，它实质上是资金的价格，反映了资金的供求关系。➢国债利率（TreasuryRate）：即国债的回报率。➢代表了政府借入其自己货币的成本。➢高信用评级政府的国债利率被认为是完全无风险的利率。➢国债利率与国债的期限有关。第一节利率期限结构第一节利率期限结构第一节利率期限结构➢银行间拆借利率（LIBOR，SHIBOR）：即银行间相互借贷融资的利率。➢代表了一个有较高信用评级的公司的融资成本。➢银行间拆借利率也被认为是完全无风险的利率。➢SHIBOR:第一节利率期限结构➢回购：某借款人将有价证券卖给贷款人以借款融资，随后以更高的价格买回证券的操作。➢回购利率（RepoRate）：借款额与赎回额的变化百分比。➢代表了一个有抵押的融资成本。➢最常用的回购利率为隔夜回购利率。第一节利率期限结构➢利率结构不同期限、不同种类的资金使用有不同的利率–期限结构–风险结构利率期限结构➢利率期限结构（TermStructureofInterestRates），又称收益率曲线（YieldCurve），是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系。➢由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场即期利率，因此，利率的期限结构，即零息债券的到期收益率与期限的关系。到期收益率➢到期收益率(YieldtoMaturity，YTM)又称内部回报率（InternalRateofReturn，IRR），可以使投资购买国债获得的未来现金流量的现值等于债券当前市价的贴现率。到期收益率➢假设某零息债券𝑇时刻到期，票面价值为1元，在𝑡时刻其价格为𝑍(𝑡;𝑇),如果在𝑡到𝑇时刻的回报率为常数𝑦,则有𝑍(𝑡;𝑇)=𝑒)−𝑦(𝑇−𝑡𝑦=−ln𝑍𝑇−𝑡到期收益率➢推广至附息债券,则有𝑉𝑡;𝑇=𝑒−𝑦𝑇−𝑡+෍𝑖=1𝑁𝐶𝑖𝑒−𝑦𝑡𝑖−𝑡其中，𝑁为息票的次数，𝐶𝑖为𝑡𝑖时刻的息票。即期利率➢即期利率（spotrates）是定义期限结构的基本利率，即期利率𝑠𝑡是指已设定到期日的零息票债券的到期收益率，它表示的是从现在（𝑡=0）到时间𝑡的货币收益。利率和本金都是在时间𝑡支付的。贴现因子和现值➢一旦即期利率确定，在每一个时间点上，定义相应的贴现因子（discountfactors）𝑑𝑡。未来现金流必然通过这些因子进行贴现。𝑑𝑡=𝑒−𝑠𝑡𝑡贴现因子和现值➢贴现因子把未来现金流直接转化为相对应的现值。因此已知任意现金流（𝑥0,𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛）相应与市场即期利率，现值是：𝑃𝑉=𝑥0+𝑑1𝑥1+𝑑2𝑥2+⋯+𝑑𝑛𝑥𝑛零息债券定价➢在利率不变且即期利率为𝑟的情况下，期限为𝑇，票面价值为1元的零息债券在t时刻的价格为：𝑍(𝑡;𝑇)=𝑒)−𝑟(𝑇−𝑡➢假定利率是可变但可确定的。)𝑟(𝑡表示𝑡时刻当期的利率，称为短期利率（shortrate）,则：𝑍(𝑡;𝑇)=exp[−න𝑡𝑇𝑟𝑠𝑑𝑠]远期利率➢远期利率（forwardrates）指的是资金的远期价格，它是指在未来的某一时点到另一时点的利率水平，也可以表示投资者在未来特定日期购买的零息票债券的到期收益率。远期利率➢按年复利对于每年复利计息，远期利率满足：1+𝑠𝑗𝑗=1+𝑠𝑖𝑖1+𝑓𝑖,𝑗𝑗−𝑖因此，𝑓𝑖,𝑗=1+𝑠𝑗𝑗1+𝑠𝑖𝑖)Τ1(𝑗−𝑖−1➢连续复利对于连续复利记息，远期利率𝑓𝑡1,𝑡2对于所有𝑡1𝑡2都成立，并且满足：𝑒𝑠𝑡2𝑡2=𝑒𝑠𝑡1𝑡1𝑒൯𝑓𝑡1,𝑡2(𝑡2−𝑡1因此，存在：𝑓𝑖,𝑗=𝑠𝑡2𝑡2−𝑠𝑡1𝑡1𝑡2−𝑡1远期利率假设存在有连续分布的所有到期日𝑇的零息债券，在𝑡时刻，这些零息债券的价格为𝑍(𝑡;𝑇),𝑍𝑡;𝑇=exp−׬𝑡𝑇𝑟𝑠𝑑𝑠整理该式并微分可以得到𝑟𝑇=−𝜕𝜕𝑇ln𝑍𝑡;𝑇这就是𝑇时刻的远期利率在𝑡时刻的值，把其记作𝑓𝑡,𝑇。将其写成收益率的形式，由于𝑍𝑡;𝑇=exp−y𝑡;𝑇(𝑇−𝑡)因此，𝑓𝑡,𝑇=𝑦𝑡;𝑇+𝜕y𝜕𝑇远期利率与到期收益率举例假设债券市场上所有的参与者都相信未来5年的1年期短期利率（Shortinterestrate）如表1所示。第n年短期利率1年6％2年8％3年9%4年9.5%5年9.5%表1第n年的短期利率举例假设零息债券面值为100元，则由表1可得该债券的合理价格，如表2所示到期日现在的合理价格1年100/(1+6％)=94.3402年100/[(1+8％)(1+6%)]=87.3523年100/[(1+9%)(1+8％)(1+6%)]=80.1394年100/[(1+9.5%)(1+9%)(1+8％)(1+6%)]=73.1865年100/[(1+9.5%)2(1+9%)(1+8％)(1+6%)]=66.837表2零息债券的合理价格举例由面值和表2给出的合理价格，计算零息债券到期收益率𝐹1+𝑦𝑛=𝑝0⇒𝑦=𝑛Τ𝐹𝑝0−1表3到期收益率到期日到期收益率1年y1=(100/94.340)-1=6%2年y2=(100/87.352)1/2-1=6.7%3年y3=(100/80.139)1/3-1=7.66%4年y4=(100/73.186)1/4-1=8.12%5年y5=(100/66.837)1/5-1=8.39%举例12345{{{{{6%9.5%9%8%9.5%6%6.7%7.66%8.12%8.39%举例收益率曲线➢描述债券到期收益率和到期期限之间关系的曲线叫做收益率曲线。➢收益率曲线即为利率期限结构的几何表示。收益率曲线➢收益率曲线的类型–上升型（正常型）–下降型（倒置型）–扁平型–驼峰型收益率曲线1）2）3）4）收益率曲线➢收益率曲线的类型–上升型——表明短期债券收益率小于中期债券收益率，中期券收益率小于长期债券收益率。–下降型——与上面相反–扁平型——短、中、长各期债券收益率大体相当。–驼峰型——表明短期和长期债券收益率较低，而中期债券收益率较高。收益率曲线中国国债收益率曲线传统利率期限结构理论➢预期理论➢流动性偏好理论➢市场分割理论预期理论➢认为利率期限结构完全取决于市场对未来利率的预期。➢在市场均衡条件下，远期利率代表了市场未来时期即期利率的预期，即൯𝑓𝑡−1,𝑡=𝐸(𝑠𝑡−1,𝑡➢远期利率是市场未来即期利率的无偏估计。预期理论➢两个2年期债券策略➢预期利率表明长期债券是短期债券的理想替代物，长期债券与短期债券取得相同收益率。൧1+𝑠22=(1+𝑠1)[1+𝐸(𝑠1,2)预期理论➢预期理论对收益率曲线的解释：–上斜收益率曲线：市场预期未来短期利率会上升–下斜收益率曲线：市场预期未来短期利率会下降–扁平收益率曲线：市场预期未来短期利率保持稳定–驼峰收益率曲线：市场预期较近一段时期短期利率会上升，而在较远的将来，市场预期短期利率会下降。流动性偏好理论➢认为短期债券的流动性比长期债券高，因为债券到期期限越长，利率变动的可能性就越大，利率风险就越大。投资者为了减少风险，偏好于流动性好的短期债券。൯𝑓𝑡−1,𝑡𝐸(𝑠𝑡−1,𝑡➢远期利率是市场未来即期利率的有偏估计。流动性偏好理论➢两个2年期债券策略➢流动性偏好理论认为长期策略比滚动策略有着更高的不确定性，长期策略比滚动策略的要求（预期）收益率。൧1+𝑠22(1+𝑠1)[1+𝐸(𝑠1,2)൯𝑓1,2𝐸(𝑠1,2流动性偏好理论➢流动性偏好理论的关系式൧1+𝑠22=(1+𝑠1)[1+𝐸𝑠1,2+𝐿➢流动性溢价表明：一个较长期金额回报大于该区间内各时间短的远期金额回报。因为投资者偏好短期投资以保持一定的流动性，长期债券只有足够的低价（高收益率）才能吸引投资者。流动性偏好理论➢流动性偏好理论对收益率曲线的解释–水平型收益率曲线：市场预期未来的短期利率将会下降，且下降幅度等于流动性报酬。–向下倾斜的收益率曲线：市场预期未来的短期利率将会下降，下降幅度比无偏预期的更大。–向上倾斜的收益率曲线：市场预期未来的短期利率既可能上升、也可能不变。市场分割理论➢即期利率水平完全由各个期限的市场上的供求关系所决定。➢单个市场上的利率变化不会对其它市场上的供求关系产生影响。市场分割理论➢市场分割理论对收益率曲线的解释–水平收益率曲线：各个期限的市场利率水平基本不变。–下斜的收益率曲线：短期债券市场的均衡利率水平高于长期债券市场的均衡利率水平；–上斜的收益率曲线：短期债券市场的均衡利率水平低于长期债券市场的均衡利率水平；–峰型收益率曲线：中期债券收益率最高。利率期限结构模型➢从利率期限结构推导的角度而言，利率模型可以分为静态模型和动态模型。–静态模型就是以当天市场的债券价格信息为基础，构造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。–动态模型（随机模型）是从假设利率服从某种形式的随机微分方程出发，通过随机微分方程推导出一个理论上的利率期限结构。第二节随机利率➢现实世界的利率是随机可变的。➢瞬时即期利率（instantaneousshortrate）指在时刻𝑡时适用于无限小时间段的利率。➢使用Itô’sprocess描述瞬时即期利率在真实世界中的变化规律𝑑𝑟=𝑢(𝑟,𝑡)𝑑𝑡+𝑤(𝑟,𝑡)𝑑𝑊𝑡➢在随机利率环境下，债券的价格应该如何确定？随机利率下的债券价格➢设到期时间T的债券的价格可以表示为Z(r,t;T)，我们构造如下的投资组合：持有1单位到期时间T1的债券Z1(r,t;T1)；卖空Δ单位到期时间T2的债券Z2(r,t;T2)；投资组合价值为12.ZZ随机利率下的债券价格➢根据Ito引理，我们知道投资组合价格变化表示为，选择221112222222121.2ZZZddtdrwdttrrZZZdtdrwdttrr12.ZZrr随机利率下的债券价格➢那么，投资组合价格变化化简为，说明投资组合已经变为无风险投资组合，故而有着无风险回报率，22221122221122ZZZZddtwdtdtwdttrtr12().drdtrZZdt随机利率下的债券价格➢将Z1和Z2的项分别整合等式的一边，上式说明，该比值一定不依赖于到期时间T,记为222211221222121122.ZZZZwZwrZtrtrZZrr22212(,).ZZwrZtrartZr随机利率下的债券价格➢将a(r,t)进一步表示为w(r,t)λ(r,t)−u(r,t),得到债券价格Z(r,t;T)需要满足的偏微分方程➢T时刻到期支付1的零息债券的终值条件为2221()0.2ZZZwuwrZtrr(,;)1.ZrTT利率风险的市场价格➢在给定时间段𝑑𝑡内，某债券价值的变化为，𝑑𝑍=𝜕𝑍𝜕𝑡+12𝑤2𝜕2𝑍𝜕𝑟2+𝑢𝜕𝑍𝜕𝑟𝑑𝑡+𝑤𝜕𝑍𝜕𝑟𝑑𝑊𝑡,利用𝑍满足的偏微分方程，我们得到𝑑𝑍𝑍=𝑟+𝑤𝑍𝜕𝑍𝜕𝑟𝜆𝑑𝑡+𝑤𝑍𝜕𝑍𝜕𝑟𝑑𝑊𝑡,其中𝑑𝑊𝑡表示资产是有风险的,𝑤𝑍𝜕𝑍𝜕𝑟𝜆𝑑𝑡表示接受该风险所要求的超额回报率要求。𝜆称为利率风险的市