高中数列极限练习题

数列极限1.极限概念：一般地，当项数n无限增大时，无穷数列na的项na无限地趋近于某个常数A（即naA无限地接近于0），那么就说数列na以A为极限，或者说A是数列na的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。记法：limnnaA；读作：“当n趋向于无穷大时，na的极限等于A”；注意：（1）}{na是无穷数列；（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的；（3）不是所有数列都存在极限；如：21,nannN；2.极限第二定义：对于无穷数列na，若存在一个常数A，对于任意小的正数，总存在自然数mN，使得当nm时，naA恒成立，则称A是数列na的极限。说明：limnnaA的几何意义：从几何上看，数列na的极限为A，是指以A为中心的区间(,)AA，必然从某项1ma起，后面的所有项都落在区间(,)AA之中。换句话说，数列na至多有m项123,,,...,maaaa落在区间(,)AA之外。例1.求下列无穷数列极限：（1）数列,21,,161,81,41,21n；（2）数列,1,,43,32,21nn；（3）数列,)1(,,31,21,1nn；例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；（2）2,2,2,...,2,...；（3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n；（4）11,2,4,8,16,...,2,...n；（5）1,1,1,...,(1),...n；（6）3,........20102,.......20102010nnanNnnn解：（1）10limnn；（2）(2)2limn；（3）(0.1)0limnnn)1.0(＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n无极限；（6）lim2nna；归纳：（1）0,limnaan为常数；（2）(1,1)0,limnnqq；1,limnnqq不存在；,1limnnqq（3）,0limnanbaccndc；2,0,limnanbaccnd不存在；2,0,0limnanbaccnd；3.极限的运算法则：(i)设lim,lim,,,,nnnnaAbBmnNkC为常数。则（1）lim()limlimnnnnnnnababAB；特别：limnnCaCA；（2）limlimlimnnnnnnnababAB；特别：①limkknnaA；②limkknnaA;③limlimnnnaaAnaaa;（3）limlim,0limnnnnnnnaaABbbB；例3.计算：（1）34limnnn；解：344limlim(3)3nnnnn（2）1()42lim1()23nnn；解：原式2（3）2(1)(21)lim6nnnn解：原式21111lim()3263nnn（4）1132lim23nnnnn解：原式112()133lim123()133nnn（5）2224731lim(...)111nnnnn解：原式247...(31)lim1nnn2(35)32lim12nnnn说明：不能单个求极限，2224731limlim...lim0111nnnnnnn，错误的原因是运算法则只对有限运算有效，对于无限运算的失效。（6）222lim1nnnn解：原式2122lim211nnnn（7）lim(43)nnn解：原式1lim043nnn（8）223lim221nnnn解：原式223(221)lim1nnnnn62（11）111134lim43nnnnn解：原式1；（12）2111lim12nknnnnnk解：原式2111111lim12nnnnnnnnk212lim(1)(2)()nknnnnnnnk2lim12nnnknnnnk(1)122kkk（13）123lim2!3!4!(1)!nnn解：1111(1)!(1)!!(1)!nnnnnn原式11111111lim1!2!2!3!3!4!!(1)!nnn1lim11(1)!nn（14）12421111lim11112222nn解：1242111111111122222n12242111111112222n1442111111222n2112n原式2112lim2112nn例4.若2lim(243)1nnnan，求实数a的值；解：分子有理化得21lim(243)44nannana例5.设,1ab，计算：1lim1nnnab解：（1）当ab时，1lim11nnnab；（2）当ab时，1()1limlim0111nnnnnnnaabbbb；（3）当ab时，111limlim11()nnnnnnnaabbaa不存在；例6.若131lim3(1)3nnnna，求实数a的取值范围；解：1311limlim3(1)3133nnnnnnaa42a11lim01(4,2)33nnaaa1求下列无穷数列极限，并用定义证明：（1）数列111111,,,,,(1),248162nn；（2）数列3452,,,,,2341nn；（3）数列11(1)1,,,,,242(1)nn；2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）35211,,,...,,...23nn；（2）1,1,1,...,1,...；（3）111,2,4,8,16,...,(1)2,...nn；（4）22012,........20102010,.......201032010nnanNnnn；3.计算：（1）2234lim2nnn；解：3（2）11132lim23nnnnn解：3（3）11(3)lim139...(3)nnn解：原式1(3)4(3)limlim1211(3)()134nnnnn（4）22lim(43)nnnn解：原式221lim243nnnn（5）1111lim[(1)(1)(1)...(1)]3452nnn解：原式2lim22nnn（6）1111lim[...]1447710(32)(31)nnn解：原式111lim(1)3313nn（7）22221111lim[(1)(1)(1)....(1)]234nn解：原式11111111lim[(1)(1)(1)(1)(1)(1)....(1)(1)]223344nnn111lim()22nnn（8）111lim(1)12123123nn解：原式2222lim[]122334(1)nnn11111112lim1223341nnn12lim121nn4.已知2215lim352nnann，求实数a的值；解：252a；5.已知121lim2(2)2nnnnm，求实数m的值；解：1211limlim22(2)22()2nnnnnnmm2||1(0,4)2mm说明：此题中202m也成立；