相似三角形的性质.ppt

坐石中心学校李银喜九年级数学三角形相似上节我们学习了三角形的判定，讨论的是具备哪些条件，才能有三角形相似，判定方法如下：相似图形三角形的判定方法：ü通过定义（三边对应成比例，三角相等）ü相似三角形判定的预备定理ü三边对应成比例，两三角形相似ü两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似ü两角对应相等，两三角形相似ü两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似本节我们学习相似三角形的性质，即是在两个三角形相似的前提下，可以得出那些结论相似三角形的特征观察右图，你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等边：对应边成比例问：什么是相似比？相似比=对应边的比值=如右图，△ABC∽△A′B′C′相似三角形对应边上的高有什么关系呢？归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。A′B′C′D′△ADC∽△A′D′C′则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′D′。△ABC与△A′B′C′的相似比为多少？AD与A′D′有什么关系？右图△ABC，AD为BC边上的高。DABC(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的高有什么关系呢？__________说说你判断的理由是什么？___________________证明过程（课本）归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？如右图△ABC，AE为BC边上的中线。则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′E′为B′C′边上的中线。△ABC与△A′B′C′的相似比为多少？AE与A′E′比是多少？ABCEA′B′C′E′△AEC∽△A′E′C′(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边上的中线的比是多少呢？说说你判断的理由是什么？___________相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。(2)如右图两个相似三角形相似比为k，则对应角的角平分线比是多少？说说你判断的理由是什么？___________△AFC∽△A′F′C′如右图△ABC，AF为∠A的角平分线。则:(1)把三角形扩大2倍后得△A′B′C′，A′F′为∠A′的角平分线，△ABC与△A′B′C′的相似比为多少？AF与A′F′比是多少？ABCFA′B′C′F′相似三角形的周长有什么关系呢？归纳：相似三角形的周长比等于相似比。右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的周长比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的周长比＝________________.2:12:13:13:1从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝______k如果△ABC∽△A’B’C’，相似比为kkACCACBBCBAAB那么于是ACkCACBkBCBAkAB,,所以kACCBBAACkCBkBAkACCBBACABCAB归纳：相似三角形周长的比等于相似比。BACA’B’C’证明如下：相似三角形的面积有什么关系呢？2:1归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的面积比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的面积比＝________________.4:13:19:1从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝______k2已知：△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、A′D′分别是△ABC、△A′B′C′对应边BC、B′C′上的高，求证：2kSSCBAABC．ABCC’A’B’DD’证明∵△ABC∽△A′B′C′，kDAADkCBBC∴，，∴22121kCBDABCADSSCBAABC已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比周长比面积比2243131912221010100212222[例2]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．分析：本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．解：设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以APAD＝EHBC.所以300－2x300＝x200，解得x＝6007(mm)，2x＝12007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007mm和12007mm.3、把一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的_____________倍；如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来___________倍。课堂练习(2)1000010←→4、已知△ABC∽△A′B′C′，AC:AC′=4:3。（1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为18cm；（2）若△ABC的面积为32cm2，则△A′B′C′的面积为18cm2。5、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC=48，求：△ADE的面积。课堂练习(2)BACK←→解：因为DE∥BC所以∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB所以△ADE∽△ABC又因为BD=3AD可得相似比k=AD:AB=1:2所以S△ADE=1/4S△ABC=12对应高的比对应中线的比对应角平分线的比周长的比相似三角形都等于相似比.面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质相似三角形外接圆的、等于相似比，外接圆的等于相似比的平方．直径比周长比面积比相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．