2016宜昌一中入学考试数学试题(教师版)

数学部分一．选择题（共8题，每题4分，计32分.每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项填入括号内）1．.函数52xxy中，自变量x的取值范围是（D）A.2xB.2x且5xC.2xD.2x且5x2．若点（a，b）在一次函数y=2x﹣3的图象上，则代数式4b﹣8a+2的值是(A)A．－10B．－6C．10D．143.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，CA=12，则cosB=（C）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求出AB=13，再根据三角函数的定义即可求得cosB的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，CA=12，∴根据勾股定理AB==13，∴cosB==，故选C．4.在下面的几何体中，它们的左视图是中心对称图形的共有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】简单几何体的三视图；中心对称图形．【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．【解答】解：圆锥的左视图是等腰三角形，不是中心对称图形；圆柱的左视图是矩形，是中心对称图形；球的左视图是圆形，是中心对称图形；长方体的左视图是矩形，是中心对称图形；故选：C．【点评】本题考查了几何体的三种视图以及中心对称图形，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（D）A．1)79(xB.1)79(xC.1)9171(xD.1)9171(x【答案】D.6.对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是(D)A.某市明天将有75%的时间下雨B.某市明天将有75%的地区下雨C.某市明天一定下雨D.某市明天下雨的可能性较大7.如图是二次函数2yaxbxc的图象的一部分，其对称轴是直线1x，且过点（3，0），有下列说法：①0abc＜；②20ab；③420abc＜；④若（－5，1y），（52，2y）是抛物线上两点，则12yy＞，其中说法正确的是（C）A．①②B．②③C．①②④D．②③④8.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（B）A.14B.32C.25D.26第7题图二．填空题（共6题，每题4分，计24分）9．满足方程532xx的x的取值范围是23x10.化简23215215得21511.已知直线32xy与抛物线2xy相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于612．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130度．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，则∠B=90°﹣40°=50°．根据圆内接四边形的对角互补求得∠D=180°﹣50=130°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣40°=50°，∴∠D=180°﹣50°=130°．【点评】此题运用了直径所对的圆周角是直角和圆内接四边形的对角互补的性质．13.下图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要个铜币。13．【答案】n=1+(1+n)(n/2)．【命题立意】本题考查了图形的变化；图形的规律，考查了识图找规律的能力，难度较难．【解析】通过观察，第1个图案的个数是：1+（1+1）×（1/2）=2第2个图案的个数是：1+（1+2）×（2/2）=4第3个图案的个数是：1+（1+3）×（3/2）=7第4个图案的个数是：1+（1+4）×（4/2）=11第5个图案的个数是：1+（1+5）×（5/2）=16第n个图案的个数是：n=1+(1+n)(n/2)14.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程21x时，突发奇想：21x在实数范围内无解，如果存在一个数i，使21i，那么若21x,则xi，从而xi是方程21x的两个根。据此可知：①i可以运算，例如：321iiiii，则2011i，②方程2220xx的两根为（根用i表示）注：①问空2分，②问空2分14．①i②1i三．解答题（共4题，计44分）15．（本题满分10分）（1）计算：0212126512+245cos．（2）先化简，再求值：13x·32269122xxxxxxx，其中22x15.（本题满分8分）解析：(1)原式=32221321；------------------5分（2）原式=2221321)2()3(312xxxxxxxxxxx，------------------8分当22x时，原式=2------------------10分16．（本题满分10分）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sincoscossin)(sintan(α±β)=tantan1tantan利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：32331133130tan45tan130tan45tan)3045(tan75tan根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：(1)计算sin15°.(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士。李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为3米，请你帮助李三求出纪念碑的高度。16．【答案】（1）；（2）14+8（米）．【命题立意】本题考查了解直角三角形的应用，考查逻辑推理能力，难度较大．【解析】=+=14+8（米）【方法技巧】本题考查了(1)特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根（第22题图）据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解.(2)解直角三角形的应用-仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键.17．（本题满分10分）图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（1）点O到弦AB的距离是1，当BP经过点O时，∠ABA′=60°；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．【解答】解：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．∵OH⊥AB，AB=2，∴AH=BH=．∵OB=2，∴OH=1．∴点O到AB的距离为1．②当BP经过点O时，如图1②所示．∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，∴sin∠OBH==．∴∠OBH=30°．由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．∴∠ABA′=60°．故答案为：1、60．（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．∵OG⊥BP，∴BG=PG=．∴BP=2．∴折痕的长为2．（3）∵点P，A不重合，∴α＞0°，由（1）得，当α增大到30°时，点A′在上，∴当0°＜α＜30°时，点A′在⊙O内，线段BA′与只有一个公共点B．由（2）知，α增大到60°时，BA′与⊙O相切，即线段BA′与只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近B点，但点P，B不重合，∴∠OBP＜90°．∵α=∠OBA+∠OBP，∠OBA=30°，∴α＜120°．∴当60°＜α＜120°时，线段BA′与只有一个公共点B．综上所述：线段BA′与优弧只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．18.（本题满分14分）(1)类比探究：根据完全平方公式222)(2bababa可知abba222，故当0x时，22)1(12)(12xxxxxx（）2，从而可得xx1（2）归纳猜想：若0,0ax，则xax，由此可知当x时，xax有最小值；（3）学以致用：某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCDABAD为长方形薄板，沿AC折ABCD第18题图BP叠后，AB交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能．①已知AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；②若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？18.（本题满分14分）（1）2)1(xx，21xx------------------2分（2）a2，a，a2------------------4分（3）①由题意，ABx，2BCx．因2xx，故12x．设DPy，则PCxy．因△ADP≌△CBP，故PAPCxy．由222PAADDP，得2221()(2)2(1)xyxyyx，12x．------------------10分（说明：不写定义域扣1分）②记△ADP的面积为1S，则11(1)(2)Sxx23()222xx，当且仅当2x时，S1取得最大值．故当薄板长为2米，宽为22米时，节能效果最好．------------------14分